文字式の計算

本来はここに書くことではないかもしれないけれど、自分のための覚書。
(x-2)-(3x-4)を計算するときに中学校1年生の生徒たちは間違わずにカッコをはずすことが出来るし、項の順序を変えることも出来る。

　（ｘ－２）－（３ｘ－４）
＝ｘ－２－３ｘ＋４
＝ｘ－３ｘ－２＋４

が、ここで

＝－４ｘ－６

とやってしまうのだ。

　ｘ－３ｘ－２＋４と書くのではなく
　ｘ＋（－３ｘ）＋（－２）＋４
と書かせると間違いがなくなる・・・

普通の数の計算でもかっこをつけるべきところにカッコをつけないけれど正しく計算していることがあるのと同じように－（２＋４）と－２＋４の違いがちゃんと分かっていないのかもしれない。

覚えておかないと・・・

ハッピーセット

マクドナルドのハッピーセット・・・今はこれ(リンク切れにならないといいのだが･･･)。

放物面を利用したおもちゃ。
ここに見えている像は実像ではなくて浮いて見えている虚像。
角度を変えると見えたり見えなかったりする。

お台場のリスーピアにおいてあるものと機能的には一緒。
ちゃんとしたものを買うとかなりの金額だが、これはチーズバーガーとポテトとジュースがおまけについて450円である
∥xx;∥☆＼(--メ)

もう一個ぐらい欲しいかも・・・

プロジェクト学習に数学は不向き

基本的にこうしたプロジェクト学習は面白い。
面白いだけではなく、知識をどうつけていくかが問題になるわけだけど、アメリカだからこそ可能なのかもしれない。

新教育の森：先生は助言者…米国の「プロジェクト学習」 - 毎日ｊｐ(毎日新聞).

　同校では数学を除き、州の教育課程をプロジェクト方式の総合学習で履修している。生徒が自分の関心のあるテーマを選んでプロジェクトを立案し、課題研究を進める学習方法。「何を学びたいのかを生徒に問うためです」とディー・トーマス校長（５８）は説明する。先生はティーチャー（教える人）ではなくアドバイザー（助言する人）。１０～２０人の生徒を担当し、それぞれの学ぶ速度や単位の取得状況を考えながら助言する。

中略

　◇時間かければ生徒は伸びる　現場の教師主導で学校改革

　今回訪問した２校のプロジェクト学習はエドビジョン方式と呼ばれる。開発した教員協同組合「エドビジョン」（９４年設立、ミネソタ州ヘンダーソン）の代表、ダグ・トーマスさん（６０）に聞いた。

(中略)

　早く結果を出そうとする人には、「時間をかければ生徒は伸びる」という私たちの方法は評価されにくい。親や地域への説明責任も絡み、教師がバランスを崩すと運営が難しくなる危険がある。実際、開校支援をした約３割が財政や運営に問題を抱えている。

どう考えてもこういう方式では学習内容に偏りが出る。
偏りが出ても、それを補うだけの力があれば自分で勉強が出来るはずだけど、数学だけは別ということなんだろうな。

そして、この「時間をかけてじっくり伸ばす」ことが出来ないのが今の学校の現状。
教育の方法のいかんを問わずそれを変えることが出来れば学校も子どももぐっと伸びるのになぁ

美術館で数学談義！

今日から多摩美術大学美術館で新しい展示が始まるのでついふらふらと美術館に吸い寄せられたＣｏｓ。
「絵画のコスモロジー」2008年7月20日まで

さすがに雨の日だけあって美術館の中にはほとんど人もいない。

橋本倫・黒須信雄・小山利枝子の三人の絵。
あいまいさを許さずに
かっちりと書き込まれた鮮やかな色彩の橋本倫、
雲のような波間のような羊の原毛のようなでも立体感にあふれる黒須信雄、
４ｍ×３ｍぐらいはありそうな大きなキャンバスいっぱいの「光--誕生」はその大きさと迫力に圧倒された。

会場の奥へ行くと、小山利枝子の描いたたくさんの花のスケッチ、この花のエッセンスを取り出してそのイメージを画面に描き出したのだということがよくわかるような作品も何点かかけられていた。

さらに奥には橋本倫の展示資料がガラスケースの中にあったのだが・・・・そこで見たものは・・・若き日の橋本の数学のノート。
微分して曲線の性質を調べてグラフを描いている。
今だったら、このレベルのグラフはＭａｔｈｅｍａｔｉｃａを使わなくてもＧＲＡＰＥＳを使えばあっさり描けてしまう・・・
かつてはＣｏｓもこうやって悪戦苦闘してグラフを描いたりしていたのだ∥^O^∥
そんなことを思ったり、式を確認したりしていたら・・・
「関心がおありですか？｣
と声をかけられた。

いろいろとはなしをしてみると数学に対する造詣がとても深い方・・・
代数幾何学(おそらく楕円関数論的なほうじゃないかな？)に詳しい方らしい。
数学の話、絵を描く人と数学の話、アーベルの書いた論文の話、ポアンカレ予想を解決した論文の話・・・Ｃｏｓには太刀打ちできない・・・∥>_<∥

写真やＣＧでは決して描き得ない「絵｣の感性の話・・・・

数学をやっていた人たちが美術の世界に入っていく話(逆は余りなさそうだけど)や関数模型を撮った杉本博司・・・

多摩美術大学では数学の授業もあるのだとか・・・曲線や曲面の持つ、数学の持つ美しさを考える可能性を秘めているんだろうなぁ・・・どんな勉強をしているのだろう？

よもや美術館で数学の話をすることがあるなんて思いもしなかっただけにとても新鮮で楽しいひと時だった。

またどこかでお目にかかれると面白いけれど、どうかな？

ただ・・・時間がなくなってしまって十分に絵を見てこれなかったのが心残りかな。
ま、近いうちにもう一度行って来よう。

数学は美術だ？

友達が出品するというので「現展」を国立新美術館に見に行ってきた。

公募展ということで普段見に行く美術展とは違っていろんな人が描いているのがそれなりに面白い。
素人のＣｏｓが見ても「これはいいなぁ」というのは数点あったけれど、「絵が上手」というだけの範疇の人も少なくない。(さすがにＣｏｓが見ても下手だと思うようなのはほとんどないが・・・）

展示されている作品の数も半端じゃないから、会場をぐるっと回るだけで見飽きるほどなのだが、今回はこんなのも・・・

しかもこれは絵じゃなくてポスターなのだ。

確かに数学とアートは近い・・・何よりもＣｏｓが両方好きなんだからそれは間違いないけれど、美術展を見に行って数学教室と出会うとは夢にも思わなかった＼∥^O^∥／

で、筑波大学数学系のwebページを見に行ったら、この雰囲気そのままのトップページでとてもうれしくなってしまった。

「You are always welcome !」こういうところでＣｏｓもまた勉強したいなぁ・・・
(もう頭が付いていかないだろうけど・・・＿|￣|●)

試験前に視聴覚教室

とっくに試験範囲が終わってしまった高校3年生の演習の授業でそれまで時間が取れなくてグラフを動かして見せることの出来なかった何題かの問題(生徒から質問のあったもの)をGRAPESを使って視聴覚教室で見せた。

こういう感覚的にどうなっているのか分からない問題に対するビジュアル的な理解にはGRAPESが圧倒的に威力を発揮する。

教室でいつでもささっと見せることが出来れば一番いいのだが、現実には「よっこいしょ｣とパソコンとプロジェクタ(それも黒板モードのないものを他から借りてきて･･･教科ではいまだに買ってもらえないのだ・・・)を担いで
教室に模造紙を張ったり(カーテンが薄いから模造紙を張ってもよく見えない∥;_;∥）、
遮光カーテンのある教室を借りたり(今年は教室の空きがない)、
視聴覚教室を使ったり(あまりに教室の雰囲気が違っていて必然的に生徒たちが落ち着かない)・・・・
コンピュータ教室を使わせてもらう（「使う｣じゃなくて「使わせていただく」という感じ)
なんてとてもとても出来る職場じゃないし・・・

まあ、GRAPESの授業は何度も去年やったクラスだから授業の構成自体には慣れているし、高3の貴重な時間ではあるけれど、試験範囲は終わっているからちょっとぐらい集中できなくてもまあいいかと腹をくくっての授業∥^O^∥

受験に数学の必要のない生徒もいるし、試験前だし、診ようとしない生徒がいるんじゃないかと思ったけれど、(おしゃべりは多いもの)予想外にみんなよく見ている。
おしゃべりもいつの間にか「グラフが」とか「ａが」とかという単語が聞こえるようになってきて＼∥^O^∥／

分かったかどうかは別として絶対値を含むグラフのコンピュータでの書き方も感動を持ってみてくれたし・・・・

で、時間が15分ほど余ったので、今回の試験範囲には入らなかったけれど、正四面体の外接球と内接球を見せた。

最初はこれ・・・

「立体視してごらん｣と・・・∥^O^∥
しばらくするうちに何人かが「出来た、浮いてる｣と言い出したので、動かして見せた。

が、当然見える生徒と見えない生徒が･･･不満そう∥^O^∥

というわけで

取り出して見せたのがこれ。

準備が間に合わなくて、人数分は準備できなかったし、Ｃｏｓは不器用だから作るのがすごく大変なのだ＿|￣|●
立体めがねだったら間違いなく大騒ぎになるのだが、これは誰も騒がずあっさりと受け取って

を見せて回転させた。

これはみんな感動していた！！

「浮いてる」、「すげぇ」、｢回る」・・・・・

・・・・えっと・・・外接円の中心が各頂点からの距離が等しい点であることを確認して欲しいんですけど･･･
いやぁ、すごくよく見てました・・・・中心がどこかなんていうのは考えなかったかもしれないけど･･･

【後日談】
で次の日の授業では「何か質問はありますか？」と聞いたら、前日に見せた問題をもう一度黒板で解説させられた。
みんな、かなり真剣に聞いていたからちょっとうれしかったかも。

携帯用ふらっしゅ

ふらっしゅでぱらぱらアニメを作るのはもうずいぶんやっている(割にはぜんぜん成長していないのだが･･･)。
でも生徒たちは携帯でwebにつないでいるのだ・・・
と言うわけで携帯用ふらっしゅを作ってみた。

忙しくて時間がなかなか取れないので、今のところ自動で動くアニメーションしか作れないけど・・・・

神様ごっこ

四月の最初の魔法のカードの授業。

日蝕の話をして
誰もそんなことを知らなければ時間を調べておいて『私は神である。その証拠に太陽を私の力で隠してみせる』といって神様になることが出来る。
日蝕の存在を知っていれば『いつ日蝕が起こるか神様が私に教えてくれる。私は神の代理である』
と神様の代理になることが出来る。
どうして日蝕が起こるか知っていれば日蝕がいつ起こるかは知らなくても、だまされることはない

なんていう話をして・・・・
「どうやってＣｏｓが数を当てているのかわからなければ、Ｃｏｓは神様だぞ」と・・・・∥xx;∥☆＼(--メ)
「神様には貢物をして何でもいうことを聞くんだぞ」・・・＼∥^O^∥／

が、困ったことに・・・・・
「もういい！！　(わからないから)先生は神様でいい！！」
う～む・・・・＿|￣|●
こまった・・・

もうひとつのリヒター

国立近代美術館の常設展の「9つのオブジェ」、ペンローズの三角形のように現実にはありえない(ペンローズの三角形は見る角度によってそうなっているように見えるものが作れるけれど)立体の写真(の様なもの)

イメージ検索をしてみたけれど、この「9つのオブジェ」は見つからなかった。

この作品を見たときに作者の名前「ゲルハルト･リヒター」に見覚えがあったのだが、それもそのはず、2005年に川村記念美術館での「リヒター展」見てきているのだ。
そのときとはかなり感じが違っているけれど、「目に映るもので遊ぶ」と言う感性はおなじでとても面白い。

近代美術館は常設展示も展示替えが多いから、いつでもあるというわけに行かないので、今の展示のうちにもう一度見てこないと･･･

理系の学力

目に見える部分だけからはそういう結果が出ても不思議はないのかもしれない。

理系高３の数学力、３０年前よりアップ .

　問題のうち約３０問を国際教育到達度評価学会（ＩＥＡ）が理系高校生に行った１９８０年度の国際数学教育調査（ＳＩＭＳ）と同一の問題にし、比較した。その結果、今回調査のほうが成績が上だった問題が全体の６６・３％もあり、同程度が２１・７％だった。８０年度より成績が下回った問題は１１・９％にとどまった。同研究所の澤田利夫所長は「理系の生徒の学力は長期的にみて低下していないことが証明できた」と話している。

今は教え込む問題の演習量がＣｏｓが学生のころと比べて圧倒的に多い。かつては解答なしに自分で解いて解けずに苦しんでいたのが普通だったのに、今はわからなければまず解答を見て理解して解けるようにしていく。

その結果、やった問題は解けるけれど新しい問題が解けないようになってきているのではないだろうか。

30年前に解けた問題が解けて同じ学力があるのかどうか・・・・問題数をこなせば理解力、応用力はなくてもある程度の点数は取れるからなぁ・・・

今の生徒たち、わからなければまず解き方を教えてもらおうとする。そうやって得た知識が学力なら知識としての学力は決して劣ってないのは確かだ。

それが真の学力かどうかはまた別の問題かも。

交差法

3D-GRAPESがリリースされた。

以前からの試行版でも[色眼鏡」を使った平行法による立体視ができてはいたのだけれど、今回、交差法による立体視もできるようになった。
(クリックして拡大しないと見るのは難しいかも)

授業でもこれを使おうと思っていたのだが、
「交差法が出来ない」と言う友達がいてはじめて気がついた。
出来ない人って決して少なくないのだ・・・

やっぱりめがねを作らないとだめかなぁ・・・

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命題とは

今日の授業。

「命題とは正しいか正しくないか判断できる文章や式のこと」と説明してから、
「命題かどうかが大事なのは理系よりも文系かもしれない。
なんといっても数学は命題か命題じゃないかは簡単に判断できるし・・・」
と状況証拠と仮説の違いについてかなり話したのはこのところの歴史ごっこの成果だろうか・・・

・・・数学だってＣｏｓにとっては本当は簡単じゃないんだけど・・・∥^O^∥

過去を探る

Ｃｏｓは歴史が好きじゃないし、先日も徳川展に行ってきて会場に入った瞬間にそれを確認してきてしまった。

ところが、「好きじゃない｣といっても実際には教科書的な歴史が好きじゃないだけで、過去に何があったのか、どうやって暮らしていたのかなどを知ることは決して嫌いではない。

その当時の人たちがどうやって暮らしていたのかとか(戦いや争いを含まなければ)特定の人がどうやって生きてきたのかを知るのは結構面白がっている。
(人と戦う人の話は嫌いだが・・・)

数学氏の中で関孝和といえば当時の代数学者に当たる人で、Ｃｏｓなどの大先輩(えらさはまるっきり違うが・・・∥^O^∥　）。
その彼がどうやって生きてきたのかというのはとても興味がある。

asahi.com：江戸時代の数学者・関孝和、菩提寺の過去帳調査 - 暮らし.

　天才数学者は幼い娘の死を乗り越えて研究に没頭していた――。鎖国時代、欧米の影響を受けずに方程式の解き方や行列式を編みだし「算聖」と称されながら、その暮らしぶりなどが謎に包まれてきた関孝和（１７０８年没）の横顔の一端が明らかになった。

ｔ：１－ｔ

今まで何度となくコンピュータを使って授業をしている(といっても実際に使わせるだけの余分の設備も時間もないから見せるだけなのだが･･･＿|￣|●　)のだが、今日はじめてベクトルのところでも授業をしてみた。

ベクトルの場合の一直線上にある条件からはじめて、線分の交点の位置ベクトルを求める問題

三角形ABCの辺ABを２：３に内分する点をE、辺ACを３：４に内分する点をFとするとき、BFとECの交点の位置ベクトルを求める

といった類の問題を解説した。

GRAPESを使ってこんな図で直線上にある条件をいろいろと比較した後で、

こんな図で手作業でQとRを一見、重ねることで交点がどうなっているか調べた後、領域を拡大表示して一致していないことをみせた。
（なぜか、「ずるい」という声が聞こえたのだが・・・∥^O^∥　）

その後、教科書どおりに
「EP:PC=ｔ：１－ｔとおいて・・・」
とやったのだが、今までに何人もの生徒から、「どうしてこんな風におくんですか?｣と聞かれ続けてきたのに、今日に限ってはまったく質問が出なかった。

後半の一次独立性のところで時間がなくて説明を急いだせいもあって質問をいくつか受けたのだが・・・

まあ、大急ぎで作ったファイルでやったにしてはうまくいったわけなのだが、あれだけ苦労して今まで教えてもうまくいかなかったことが「当たり前のこと」として受け止められるのはうれしいのやらなんだか癪にさわるやら･･･
ちょっと複雑かも。

明日までに・・・

忙しいときには忙しいことが重なる・・・
というよりはせっせと自分で作っちゃうのかもしれない∥>_<∥

成績もほぼつけ終わって、点とくじの慰霊の会も無事に終了して、ほっと一息。
のはずだったのだが、中間試験が終わってみると「あれもＧＲＡＰＥＳ、これもＧＲＡＰＥＳ」状態。
ほとんどファイルの準備も出来てないのに明日、2種類の授業・・・＿|￣|●

確かに慣れてきて、一つ一つのファイルはさっと作れるようになったのだが、う～む・・・

特にベクトルは今までやったことがないのでなんとなく不安。
何をしたいのかもわかるし、どうすればいいのかも判るけれど、生徒にちゃんと伝わるかなぁ・・・
どういう風にまとめれば一番わかりやすいか、これから考えないと・・・

というわけで今夜も忙しくなってしまった＿|￣|●

結局ｇｉｆファイル?

生徒のためにＦＬＡＳＨを作ろうとしたら、
「先生、それパソコンじゃないと見れないでしょ・・・・
終わった;あ･･･」といわれてしまった。

彼らにとってはパソコンよりも携帯の方が身近なｗｅｂ・・・
というわけでＦＬＡＳＨを作る前にgifのアニメーションを作ってしまった∥>_<∥

以前はこういうファイルをいつもgifで作っていて、自由が利かないのが気に入らなかったんだけど、結局元に戻ったような気もする∥^O^∥

台形の面積や解の公式

記事を読むと「復活」という印象もあるけれど、実際には当然のこと、あるいは現行を認めたという感じ。

asahi.com：「台形の面積」、小学校算数で復活へ 文科省が素案提示 - 暮らし.

　学習指導要領の改訂をめぐり、文部科学省は１８日、小学校算数に「台形の面積の求め方」、中学校数学に「２次方程式の解の公式」などを盛り込む素案を中央教育審議会（文科相の諮問機関）の算数・数学専門部会に提示し、おおむね了承された。いずれも、前回の改訂で教える必要がなくなった内容で、早ければ１１年度から復活する方向だ。

　素案では、「理数教育の充実」のため算数・数学の全般にわたって学習内容を増やす。具体的には、現在中学で教えている「文字を用いた式」「反比例」「対称な図形」を小学校に、高校で教えている「有理数と無理数」「面積比と体積比」「球の表面積・体積」などは中学に移す。

解の公式や有理数と無理数については「ルート｣を習ってから出ないとできないからまぁ仕方ないけれど、「面積比と体積比」「球の表面積・体積」は中学生レベルというよりは小学生レベルじゃないかと思う。

特に球に関しては「証明」を習った後で、証明せずに「こうなります」という形で教えるのは数学的論理の一貫性にもかけることになる。
せめて「証明」ということを習う前に教えるのがいいと思うのだが、中学で習うことになると論理性にやはりかけると思うのだが･･･

それにしても、今高1で習っている平面幾何はそのまま残ることになるのだろうか・・・・

理解の仕方

このところよく分かってないことを使おうとして悪戦苦闘を続けていた。
理屈としては分かっているつもりだったのだが、いざ実際に使ってみようとして実は分かってないことに気がついてしまったのだ。

「点AをOBの周りにθだけ回転した点P」を与えるコマンドがGRAPESの3Dタイプ(今のところ試作品)のものにあるのだが、使ってみるまではどういうことなのか分かっているつもりでいたのだが、実際に使ってみるといったい点Pがどこに行くのかほとんど分かってないのだ＿|￣|●
どこへ行くのか、予想を立てるのだが、それがこっちの思うようなところには行かないのだ。

(具体的にはGQの周りに30度回転させるとG(重心)を外接球の中心とする正四面体ABCDはどう移動するかを考えるのだが･･･
紙に書いて考えると大体分かるけれど、どういう風に動くのかのかさっぱり分からなかったのだ・・・
＿|￣|●　)

（こたえは「続きを読む」から・・・）

まあ、それが分かるようになるまでには試行錯誤でいろいろとやってみてやっと「わかった」状態にはなったのだが、その分かったことを言葉に表すと最初とかわらない。

理屈が分かっていたことが感覚的にも理解できたと言うことなのかなぁ・・・

「わかった」と言うけれど、やらせてみるとぜんぜんできない生徒の理解の仕方が少し「感覚的に」分かったかも。

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講習会

9日と10日はＧＲＡＰＥＳの講習会。

普段の授業でも使っているのに、講習会に出るのは今回がはじめて・・・
今までも何度となく出たかったのだが、会場が「大阪教育大」・・・・遠いし・・・

が、ちょうど1年ぐらい前に友田先生と直接お目にかかってから「来年こそ行くぞ」と思っていたら、友田先生のほうから東京に来てくださった＼∥^O^∥／

春に他のスタッフの方ともお目にかかったので、今回はいろいろなことを学ぶだけじゃなく、友田先生をはじめそうした方々とお目にかかるのも楽しみの一つ。

やっぱり皆さんすごいなぁ・・・と痛感する一日だった。

明日、もう一日講習。まだ教えてもらえることがあるのもやっぱりうれしい。
ちゃんと消化できるかなぁ

比の感覚・・・こんな感じ？

どんな風に図を見ているのかをFLASHにしてみた。

を考えるときの頭の中はこんな感じかな。

比の感覚のFLASH

PQの長さは実際には数字が見えているわけではなく、変化しているということを認識している程度かな。

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感覚的数学

Ｃｏｓの授業は感覚的な部分がかなりある。
というか、理詰めで話をしてもすんなり分かってもらえないからなのだが･･･

他の場所で数学の感覚の話をしていたら学生だったころのことを思い出した。

大学に入って今まで思っていた理詰め、証明の数学ではない数学に出会ったときのことを・・・
Ｃｏｓは大学に入るまでε－δ論法を知らなかったのだ。
いくら説明されても、本を読んでも納得できなかった上に先生が
「これは理屈じゃない。感覚的に理解できるものなのだ｣といわれてものすごく驚いた。

といわれたって、「はいそうですか」と納得できるわけでもなく分からないままに時間が流れた。
が、あるときすーっとε-δの図が頭の中に浮かんで動き始めた。
図としては教科書や先生の説明にあったものと同じなのだが、それが動いてすんなりと感覚的に納得できたのだ。

たぶん、これがＣｏｓの理詰めだけではどうにもならない数学との最初の出会いだったのだろう。

それから先は感覚的に理解したことを証明で埋めていくみたいな形の勉強をずいぶんやったような気がする。

いつの間にか、そんな風に考えていた比があったことを忘れてしまっていた。

証明は数学的感覚の正しさを示す道具にしか過ぎないのかも。

数学的感覚・・・・たとえばこんな問題

ＡＤ//ＢＣ　ＡＤ＝５，ＢＣ＝８の台形で
ＡＢ、ＤＣを２：１に分ける点をＰ、Ｑとするとき、ＰＱの長さを求めよ。

これを感覚的に考えるなんていうのもそうなのだが･･･

数学でも金

数学でも金メダルというのはなんと言ってもうれしいし、去年よりも日本としての成績も上がったのはうれしい。

asahi.com： 国際数学五輪で日本の高校生、金２・銀４ 全員がメダル - サイエンス.

　ベトナム・ハノイで開かれた第４８回国際数学オリンピックで、文部科学省は３０日、私立高田高（三重）３年片岡俊基さんと筑波大付属駒場高（東京）１年副島真さんの２人が金メダル、４人が銀メダルを獲得し、日本代表の６人全員がメダルを獲得したと発表した。

が、一方で普段Ｃｏｓが見ている生徒たちの考える力が落ちているのとこのことが結びつかないのがとても怖い。

能力の二極化？

理論的勝敗

○と×を交互に書いていって3個並んだほうの勝ちという○×ゲームの必勝法を知ったのは小学生の時だっただろうか？

勝つわけではなくて「負けない」手の打ち方を知ってしまったためにすっかりこのゲームがつまらなくなってしまったのを今でも覚えている。

ま、高校生でも必勝法(じゃなくて負けないだけだけど）を知らない生徒もいるのはちょっと不思議だが、こういうゲームの必勝法を考えるのは結構おもしろい。

でも・・・チェッカーの必勝法を考えるのはとてつもなく大変。

asahi.com： 「チェッカー」ゲーム、１８年半かけ解明 カナダの大学 - サイエンス.

　縦横８升の盤上で、敵味方１２個ずつの駒が動くパターンは、５掛ける１０の２０乗、つまり５垓（がい。垓は兆の次、京の上の位）通りもある。解明の結果、双方がミスをしなければ、必ず引き分けに終わることが分かった。このことは名人の間では数十年前から予想されていたという。

この必勝法(これも正しくは負けないだけなんだけど)が計算されたというのだ。
「負けない方法」が分かったからといってとてもじゃないけど人間に実践できるとは思えないけれど・・・∥^O^∥

そういえば五目並べ必勝法はあるのかな？

うまく出ない・・・

一学期の終わりにやったGRAPESを使っての授業の内容をFLASHにしてみたのだが、
どうもうまく座標の線が出ないのが気に入らない。

文字定数を含む直線のFLASH

分からないものはｘ？

「なにをとおくかをきちんと書け」という指導はどこの学校でもやっていると思うのだが、なんでもかんでもとおけばいいと思っているのも少なくない。
もちろん、なにをとおいたかなんていっさい書かずにこっちが悩むに任せてくれるのだ・・・∥>_<∥

たのむから、さいしょのとつぎのが違う・・なんていうのは勘弁して欲しい＿|￣|●

「何でこんな変形ができるんだ？」としばらく悩んだ挙句、おなじでも意味するところが違うものだと気がついたときの脱力感・・・
しかも一人とは限らないし・・・・＿|￣|●

濃度の問題

今日問題演習をやっていて、濃度の問題が小学生レベルから分かってないことが発覚してしまった。

とりあえずざっと教えておいたけれど、ちゃんと分かったかなぁ・・・

たぶん・・・売り上げと利益に関する問題も分かってないんだろうなぁ・・と不安

グラフを動かす

前日の夜せっせと作ったGRAPESのファイルで昨日は授業をした。

去年教えていた生徒たちはグラフが動くということを知っているけれど、今年から教えている生徒たちはそのことを知らない。
初めてグラフを動かして見せたときの生徒たちの驚きはいつ見ても新鮮。

本当は自分で動かしてみて初めてグラフ・・・関数がスタティックなものではなくダイナミックなものだと実感できるんだけど、そこまでやる時間の余裕も、使える場所も、Ｃｏｓの余裕もないのが残念。

濃度は公式?

Ｃｏｓは中学生の授業を持ってないから罪悪感は感じずに済むんだけど、生徒がこんな風に考えているなんて予想もつかなかった。

あれから１年経ちました｜次世代を担う子供たちの現在そして未来.

　今年は、「全部で５００グラムの中に塩は１５グラム」 の段階で濃度が言えている。でも話を聞くと、ほとんどの生徒が「アタマの中で公式にあてはめ暗算で解いている」状態のようだった。

３％が一瞬で出せる理由を話したら、「おぉ～」と感動している生徒がけっこう多かったのでニンマリ。

これじゃ、たとえ相手が高校生であっても、
「５００ｇのなかに１５ｇの食塩だから１００ｇだったら３ｇだから３％でしょ」といっても理解するまでにタイムラグがあるのは当然かもしれない。

Ｃｏｓは子どものころ、濃度の問題は「１００ｇに直すと何グラムになるか｣を考えないと解けなかった（だから時間がかかった)ので、濃度はそれが基本だと思っていたのだ・・・∥>_<∥

公式でしか理解(それを理解というのかはかなり疑問だが)していないとなると話し方を変えないといけないかも。

小学校ではどう習っているんだろう?

時間がかかった

今日はこんなものを作っていたらすっかり時間が遅くなってしまった。

フラッシュは見たことがある人が多いだろうなぁ・・・・何しろ去年作ったままだから・・・
今年はさすがに時間がなくて新しいものが作れない。
忙しいのはＣｏｓにはいいことなんだけど・・・

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見過ごしてきた責任

「間違うのも結構いるに違いない」と思って作った問題だけど、ほとんどが間違っているとは夢にも思わなかった問題がある。

(ちょっと違うけど)

のとき

を計算させる問題。

ほとんどが６２５と答えてマイナスを落としてしまっている。

これは
との意味を理解していないと言うことなのだ。

こんなに出来が悪いとは思わなかった・・・そのことに気がついていなかったＣｏｓにも責任がある。
今回この問題を出していなかったらずっと気がつかないままだっただろうと思うと恐ろしい・・・
意味の違いを今一度しっかり身につけさせないと・・・＿|￣|●

アメリカの算数

こんな計算を平気でするんだろうか？

Math Education: An Inconvenient Truth(続きを読むにあります）

問題のシーンはこれ。

こういう式は絶対に書いちゃいけないと教えてきているのに・・・・
普段の授業では口をすっぱくして

２０×３１＝６２０は６２０＋１５５と同じゃない
と教えているのに・・・

でも、

これだと問題は感じない。
「式｣じゃなくて「計算｣だからだろう。
「計算｣として考えれば上のイコールも問題がないのかもしれない。

が、「式｣と「計算｣の違いを最初から理解できているわけじゃないから、教える側は絶対に使っちゃいけないと思うのだが･･･

このビデオはシカゴ大学で編集された数学(と言うより算数)の教科書の宣伝用のビデオのようだ。
このEveryday Mathematicsはいかがわしい本じゃなくてかなりまともな本のように見えるし、ビデオもなかなかおもしろい。

「そんな計算するかぁ？｣と言う部分もあったけれど、等号の使い方以外はおもしろかったし、
なかには同じ掛け算でも、Ｃｏｓにも使えそうなのもあった。

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びっくりしたらしい

今日から場合の数の授業。

中学と違って、全部書き上げられないような場合もやるという話をしてから3人を一列に並べる場合の確認。
「じゃあ、クラスの全員が一列に並ぶ方法は何通りあるか？樹形図を応用して考えてみよう｣
ここはいつもすんなり行く。

40人のクラスならちゃんと

４０×３９×３８×・・・×３×２×１

が出てくるのだが、問題はここで、
「じゃあ、これは樹形図で描けるだろうか？｣

けっこう「描ける」と言う生徒が多いので、
「いくつぐらいかけばいいのかな？｣とアンケートをとってみた。

最初のうちは1000とか2000とか･･･
そのうちに式の形を見て「おかしい」と思い始める生徒も出てきて＼∥^O^∥／
それでも普通でてくのは「1億｣とか「1000兆」とか止まり。
が今年はかなり考えて、「もっとおおきい」と言う生徒がもいて＼∥^O^∥／

この数字を４０！とかくことを教えてから40！の答も出ている表を渡す。
で、「読んでみよう」・・・読めるはずがないのである。
「しかたがないなぁ」といいつつ、漢数詞の表を渡す。
必死で読んでいる・・・難しいようだ。

何とか読み終わってからこれからどんなことを勉強するかの話。

ついでに、何回か前の授業で「こんなのいらない」といった生徒がいたこともあって、数字の指数表現の話をして授業が終わった。

生徒たちはおもしろかったようだし、Ｃｏｓも楽しかった。

実際には試験前で時間的に厳しかったんだけど、こういう授業もないとなぁ・・・