数学も物理も金

こういう新聞記事を読むと日本もなかなか優秀じゃないか、数学離れ、理科離れって言うのはどこの国の話だろう・・・
と思いたくもなってくるけれど、現実には二層化してしまっているということなのかもしれないな。

国際数学五輪：日本、過去最高の２位　物理も金２個 - 毎日ｊｐ(毎日新聞).

　文部科学省は２０日、世界の高校生が実力を競う第５０回国際数学オリンピックと、第４０回国際物理オリンピックで、日本代表が金メダル計７個を獲得したと発表した。数学五輪は団体で中国に次ぎ過去最高の２位になり、個人でも東京・筑波大付属駒場高３年の副島真さんが満点で全参加者中１位の成績だった。

なによりも、物理は取らなくても高校を卒業できるし、数学だって卒業するために必要とされる単位数はごくわずかで１年のときに取れてしまう。

そういう人たち・・・高校に入る前からそういう道を選択することを余儀なくされている人たちと、世界のトップクラスのお墨付きを得た人たちと・・・・

資力にしても知力にしてもあるところに集まるのは変わらないのかも。

パトリック･ヒューズ

Bunkamuraの「だまし絵展」で一番衝撃的だったのがこの人の作品。

絵(？)なのに、移動していくと実物がそこにあるかのように変化していくのである。
実際に見ないとその衝撃は伝わらないかもしれないけれど、彼のwebページでもその感じが少しはつかめるかも。

どう見えるかはthree minute film のページが分かりやすい動画になっている。

本当に項見えるから不思議だ・・・

錯視の一種ではあるけれど、どこか数学的なにおいがする。

遠近法の逆とでも言いたくなるような彼の作品は自分でも作れそうな気がしてくるが・・・

先生作ったの？

昨日の授業で先日作ったふらっしゅを生徒達に見せた。
パソコンを教室に持ち込んでの初めての授業だったので
｢先生、何やるの？」
「ん？すーがくだよ」
「映画みるの？」
「Ｃｏｓがそんなもの見せるわけないじゃない」(他のクラスで見せたことはあるけど･･･)

「ターミネーターを見たい」
「勝手に見に行け」
などと騒ぎながら10分の休み時間で準備・・・が終わらなくて∥>_<∥

ふらっしゅを立ち上げたら
「先生作ったの？」という質問があったので、
「うん。急いで作ったからすごく雑だけどね」と答えたらそれっきり黙ってしまった・・・・
後になって気がついたけど、「先生にこんなの作れるわけないよな～～」といいたかったんだろうな。

聞いてない生徒も何人かいたけれど、ほとんどは一生懸命見ながら考えていたので＼∥^O^∥／
終わった後で
「二項定理分かった？」と聞いたら自信を持って
「うん。」という返事があちこちから返ってきたので＼∥^O^∥／
これで多項定理も分かるだろう。

が・・・・撤収に10分近くかかった・・・・Ｃｏｓの休み時間(より正確には教室移動時間）が取れない・・・
と、黒板モードのないプロジェクタなのでとても見にくい。
(ずっと「買ってくれ｣といっているけれど、「買わない」という返事すらもらえずそのまま･･･)

どっちも視聴覚教室を使えば問題はないんだけど、視聴覚教室は普通の授業はやりにくいのと、生徒が興奮するからなぁ・・・
(こまめにやれば興奮しなくなるけど･･･)

準備も大変、授業も大変・・・・やらなくても別にかまわない授業・・・・
「うん」の一言のために・・・

ひさしぶりのふらっしゅ

気分が鬱の時にはこういうことをやるのが一番かもしれない・・・

ただし、2時間ほどで作ったので「きれいにする」余裕がなかったからガシャガシャ∥>_<∥

出来たとたんに再び気分は鬱だが・・・＿|￣|●

誰がどう教えるかが大事

当たり前といえば当たり前の結果だけれど、文科省や現場の意識が高い環境で結果が出ていないということがどういうことなのか、ちょっと考えればすぐに分かること。

asahi.com（朝日新聞社）：導入進む「習熟度別少人数授業」　きめ細かな指導探る - 教育.

　部分実施も含めると、小学校の８５％、中学校でも７４％（０７年度）で導入されている「習熟度別少人数授業」。昔ながらの一斉授業ではなく、きめ細かく対応するために子どもの理解度でグループ分けして教えるやり方だが、導入しさえすれば効果が出るというわけではないことが、文部科学省の調査から浮かび上がった。

導入された習熟度別。
結果を出すことを要求しない学校がどこにあるだろうか。
それにもかかわらず明らかな違いが出ていないことのほうがずっと問題だ。

　小学校では、習熟度別の子どもの方が、そうでない子どもより正答率が１ポイント以上高い問題が１４問中５問あった。中学校では２０問中４問だった。だが、差は最大でも３ポイントで、受けていない子の方が正答率が１ポイント以上高い問題も小学校では３問あった。単純に見える計算問題でも、習熟度別の効果の表れはまちまちだ。

子どもの理解度でグループ分けをしたときと単純に人数だけでグループ分けをしたときとの差は調べられていない。
つまりこのポイントが高いという結果さえも習熟度別かどうかということによるものなのか、人数を少なくすることによるきめ細かな指導によるものなのかは判断できない。

　加藤幸次・上智大名誉教授（学校教育）は「学級崩壊などが起こるなか、一斉授業だけで対応するのは無理で、個に応じた教育が必要だ」と言う。

この言葉の中にはどこにも「習熟度別」という言葉はない。
「個に応じた教育」というのは出来具合で子どもを輪切りにすることと同じではない。

教える側から見れば粒がそろっているほうが教えやすいということはあるし、教えやすければ効果も大きいはず・・・ということはあるのかもしれないが･･･

さくらと菜の花と川村美術館に刺激されて・・・

昨日の夜は佐倉にお泊りをして、今日は川村記念美術館に行ってきた。
川村記念美術館のアート広場では菜の花が咲き誇っていて思わずこんなものを作ってしまった∥^O^∥

直線または微分方程式

補助教材

前回の指導要領の改訂から高校生に教えていて「こんなことを教えるのか?」とあきれていた球の表面積と体積がやっと中１に戻る。

きちんと証明するのには微積が必要だし、いい加減に示すのは高校の数学の範囲ではあまりにひどいし・・・今使っている教科書はカバリエリの原理を使って説明（あくまで説明）しているけれど、前に使っていた教科書は「水につけて体積を調べると」・・・こんなの数学じゃないのに・・・

時事ドットコム：小４は教科書７４ページ分＝理数拡充で補助教材－文科省.

　文部科学省は１９日、新学習指導要領への移行で授業が拡充される小中学校の算数・数学、理科の補助教材を公表した。現行の教科書に載っていない項目を説明しており、４月から授業で使われる。最もページ数が多い小学４年生では２教科で計７４ページ程度あり、「脱ゆとり」が鮮明に表れた。 　教材は教科書出版社７社が作成。小３では「二等辺三角形」「風やゴムの働き」、中１では「球の表面積と体積」「力とばねの伸び」など移行に伴って追加された項目を補っている。

小学校４年の補助教材が７４ページ分。
どういう書き方をしているのかは分からないから一概に多いとは言えないけれど、教科書の薄さと内容を考えるとかなりの量になるのかもしれない。

しばらくの間は知らずに高校に入ってくる生徒達がいるわけだけど、この生徒達が大人になったときと中学で習ってきた生徒達とが大人になったときでは少し違うのかもしれないな。

約分できる？

普通は分数をこんな風に表すことがないから誰もが引っかかる問題。

「この3と9は約分できるよね」というと誰もが「Yes」と答える。
さすがに数学科の教員は「あっ、違った」というけれど・・・・

センター試験

解かなきゃ・・・明日使うからなぁ・・・

IIBは計算が面倒だからいやだなぁ・・・
∥xx;∥☆＼(--メ)

また複素数平面・・・

同じ記事の引用だけど・・・・

特集：高校・新学習指導要領案　学力向上「じっくり」　義務教育内容を復習 - 毎日ｊｐ(毎日新聞).

　データ活用力向上のため、新たに必修となる「数学１」の中に統計に関する内容を盛り込む。「数学１」と「数学Ａ」では、知識や技能を活用する力を育成するため新たに「課題学習」を位置づける。あるデータの分析結果を使った討論などを想定している。

　指導内容では「複素数の図表示」（数学３）、「ド・モアブルの定理」（同）などが復活する。

このデータ分析は数Aの確率とは独立になっている。つまり、確率と統計の連携はやらないということ？

データ分析は数学Iで確率は数学Aだから学校によっては確率を学ばないままだったり、データ分析(これは統計とは違うの？）をやってから確率をやるなんていうこともありうるわけだ。

数Aの中には整数の性質が入っていて、今までの不備が解消されると同時に、入試ではますます整数問題が難しくなるんだろうなぁ・・・

極めつけが数学IIIの複素数平面とド･モアブルの定理。
別にやっちゃいけないとかやることに問題がるとは思わないけれど、これが入ると同時に行列と一次変換が消えた。

行列と一次変換の考え方は考え方自体も大切だし次元に関しても拡張性が高いけれど、複素数平面は考え方としてはここでストップしてしまって、拡張性はない。
(もちろん内容的には拡張性はあるけれど、概念的に拡張されることはない)
前回あれだけ評判の悪かったものを復活させるのはどうしてなんだろう？

なぜ復活するのかはまったく分からない。

複素数平面は複素数平面でしかないけれど、行列の考え方は空間にも拡張できるし、そうした図形的な取り扱いだけじゃなく線形代数学につながっていくのになぁ

何が不満なんだろう？

数独も数学の授業で？

数学基礎をやらないのと同じように数学活用もＣｏｓが教えることはないけれど、「お楽しみ｣で使っている数独が「数学活用｣の授業で扱うのだそうだ。

数独は数字こそ使っているけれど、数学とは無縁の論理思考だけだと思うのだが･･･
どこが数学なんだろう？

実際には数学の力はつかないけれど、論理的な思考を要求するからとてもいいと思ってはいるけれど、クロスワードパズルと同じレベルだと思うのだがなぁ・・・

(クロスワードパズルのほうが国語力を要求するからいいかも）

特集：高校・新学習指導要領案　学力向上「じっくり」　義務教育内容を復習 - 毎日ｊｐ(毎日新聞).

　■数学

　「数学基礎」を発展させる形で「数学活用」を新設する。数学への興味や関心を高めるのが狙い。イベント会場の来訪者の移動をシミュレーションするなど、身近な事象についてグラフや表を用いた考察を重視。「数独」のようなパズルやゲームを通して、数学の楽しさも伝える。

　データ活用力向上のため、新たに必修となる「数学１」の中に統計に関する内容を盛り込む。「数学１」と「数学Ａ」では、知識や技能を活用する力を育成するため新たに「課題学習」を位置づける。あるデータの分析結果を使った討論などを想定している。

　指導内容では「複素数の図表示」（数学３）、「ド・モアブルの定理」（同）などが復活する。

データ活用力向上・・・・指導できるのかなぁ
「課題学習」・・・・できないだろうなぁ
年齢だけじゃなくこういうことが出来る若い教員もいないような気がするけれど・・・

複素数が数IIIに入るということは理系必修と言うこと。
それはそれで面白いけれど・・・

新しい学習指導要領 「生きる力」－文部科学省はこちら。PDFばかりなのでみにくいけど。

答えより解き方を

今年、初めてＣｏｓが教える中には答えの出し方を知りたいだけと言う生徒が例年よりもずっと多いような気がする。

どうしてそうなるのかには関心がなくて、どうやったら正解(答えじゃなく正解)が出せるのかにばかり関心が向いているように見えるのだ。

もしかしたらそうではないのかもしれないけれど･･･

（７）鶴亀算　答えより解き方 : 教育ルネサンス : 教育 : YOMIURI ONLINE（読売新聞）.

　東京都千代田区立お茶の水小学校の黒木公一教諭（５２）は２４日、６年２組の児童に、間違っていいことを強調してから、黒板に旧かなづかいの算数の文章題を張り出した。

　「鶴ト龜(かめ)ガ合ハセテ二十匹ヰ(い)ル。足ノ數(かず)ハ合計五十二本デアル。鶴ト龜トハソレゾレ何匹ヰルカ」

　１９３５年から１０年近く使われた小学校算術の国定教科書で６年下巻の応用問題の一つ。俗に「鶴亀算」と呼ばれる。表紙の色から「緑表紙」と名の付いたこの教科書は、その斬新さから当時の教育界で大きな反響を呼んだ。

　その執筆者が後に教科書作りを担った出版社「啓林館」（本社・大阪）は、伝説の教科書を見直すことが「考える力」を育てるのに有効だと昨秋、そっくり復刻。その話を知った黒木教諭が、１組担任の栗原由紀子教諭とともに、子供たちに「考える算数」を経験させたいと特別授業に臨んだのだった。

今教えている生徒達だって、よく考えているのだ。
その考えている方向性がＣｏｓには不安ではあるけれど・・・・

本来数学の面白さはどうやったら正しく正解が出せるかじゃなくて、深く考える面白さ、問題を解くときにもたとえ回り道をしてもいいから答えを出す楽しさだと思っているのだがなかなかそういう楽しさが特に今年は伝えられずにいる。

　「みんなの頭の中が見えるようにするのが目的だから、ほかの子が間違っていても、かつての自分だと思うこと」「答えが出るのと、よくわかっていることは違う。間違っていても、ずっと考える子が伸びるんだ」と黒木教諭。

ずっと考える子が伸びるまでにはたくさんの時間が必要だし、ちょっと見ただけではその伸びはすぐには見えてこない。

逆に、「こんな教え方をしていていいのか?｣と思うような教え方をしていても問題が解けさえすればそれはそれで十分なのだ。

何が本当の力なのか・・・難しい。

エッシャーを見ると・・・

佐倉市立美術館で「エッシャー展　永遠なる迷宮」
平成20年（2008年）8月1日（金）～9月23日（火・祝）
を見てきた。
エッシャーは東京に来るたびに見ているし、以前ハウステンボスに行ったときにも見たからどうでもいいような気がしていたのだが、やはり見に行くと刺激されて・・・・

こんなものを作ってしまった∥^O^∥
といっても今日やったのは二つの正四面体を重ね合わせて回転させることだけ。
真ん中に球をくりぬいて・・・なんて思っているけれど、いつになることやら･･･

二つの正四面体

横に回転するときのコマ数はもっと増やしたほうがいいし、出っ張ったところを切りとった立体も回転させているのだが、見ているだけでは何をしているのか分からない。
少しずつ切り取るのはどうすればいいのか・・・

文字式の計算

本来はここに書くことではないかもしれないけれど、自分のための覚書。
(x-2)-(3x-4)を計算するときに中学校1年生の生徒たちは間違わずにカッコをはずすことが出来るし、項の順序を変えることも出来る。

　（ｘ－２）－（３ｘ－４）
＝ｘ－２－３ｘ＋４
＝ｘ－３ｘ－２＋４

が、ここで

＝－４ｘ－６

とやってしまうのだ。

　ｘ－３ｘ－２＋４と書くのではなく
　ｘ＋（－３ｘ）＋（－２）＋４
と書かせると間違いがなくなる・・・

普通の数の計算でもかっこをつけるべきところにカッコをつけないけれど正しく計算していることがあるのと同じように－（２＋４）と－２＋４の違いがちゃんと分かっていないのかもしれない。

覚えておかないと・・・

ハッピーセット

マクドナルドのハッピーセット・・・今はこれ(リンク切れにならないといいのだが･･･)。

放物面を利用したおもちゃ。
ここに見えている像は実像ではなくて浮いて見えている虚像。
角度を変えると見えたり見えなかったりする。

お台場のリスーピアにおいてあるものと機能的には一緒。
ちゃんとしたものを買うとかなりの金額だが、これはチーズバーガーとポテトとジュースがおまけについて450円である
∥xx;∥☆＼(--メ)

もう一個ぐらい欲しいかも・・・

プロジェクト学習に数学は不向き

基本的にこうしたプロジェクト学習は面白い。
面白いだけではなく、知識をどうつけていくかが問題になるわけだけど、アメリカだからこそ可能なのかもしれない。

新教育の森：先生は助言者…米国の「プロジェクト学習」 - 毎日ｊｐ(毎日新聞).

　同校では数学を除き、州の教育課程をプロジェクト方式の総合学習で履修している。生徒が自分の関心のあるテーマを選んでプロジェクトを立案し、課題研究を進める学習方法。「何を学びたいのかを生徒に問うためです」とディー・トーマス校長（５８）は説明する。先生はティーチャー（教える人）ではなくアドバイザー（助言する人）。１０～２０人の生徒を担当し、それぞれの学ぶ速度や単位の取得状況を考えながら助言する。

中略

　◇時間かければ生徒は伸びる　現場の教師主導で学校改革

　今回訪問した２校のプロジェクト学習はエドビジョン方式と呼ばれる。開発した教員協同組合「エドビジョン」（９４年設立、ミネソタ州ヘンダーソン）の代表、ダグ・トーマスさん（６０）に聞いた。

(中略)

　早く結果を出そうとする人には、「時間をかければ生徒は伸びる」という私たちの方法は評価されにくい。親や地域への説明責任も絡み、教師がバランスを崩すと運営が難しくなる危険がある。実際、開校支援をした約３割が財政や運営に問題を抱えている。

どう考えてもこういう方式では学習内容に偏りが出る。
偏りが出ても、それを補うだけの力があれば自分で勉強が出来るはずだけど、数学だけは別ということなんだろうな。

そして、この「時間をかけてじっくり伸ばす」ことが出来ないのが今の学校の現状。
教育の方法のいかんを問わずそれを変えることが出来れば学校も子どももぐっと伸びるのになぁ

美術館で数学談義！

今日から多摩美術大学美術館で新しい展示が始まるのでついふらふらと美術館に吸い寄せられたＣｏｓ。
「絵画のコスモロジー」2008年7月20日まで

さすがに雨の日だけあって美術館の中にはほとんど人もいない。

橋本倫・黒須信雄・小山利枝子の三人の絵。
あいまいさを許さずに
かっちりと書き込まれた鮮やかな色彩の橋本倫、
雲のような波間のような羊の原毛のようなでも立体感にあふれる黒須信雄、
４ｍ×３ｍぐらいはありそうな大きなキャンバスいっぱいの「光--誕生」はその大きさと迫力に圧倒された。

会場の奥へ行くと、小山利枝子の描いたたくさんの花のスケッチ、この花のエッセンスを取り出してそのイメージを画面に描き出したのだということがよくわかるような作品も何点かかけられていた。

さらに奥には橋本倫の展示資料がガラスケースの中にあったのだが・・・・そこで見たものは・・・若き日の橋本の数学のノート。
微分して曲線の性質を調べてグラフを描いている。
今だったら、このレベルのグラフはＭａｔｈｅｍａｔｉｃａを使わなくてもＧＲＡＰＥＳを使えばあっさり描けてしまう・・・
かつてはＣｏｓもこうやって悪戦苦闘してグラフを描いたりしていたのだ∥^O^∥
そんなことを思ったり、式を確認したりしていたら・・・
「関心がおありですか？｣
と声をかけられた。

いろいろとはなしをしてみると数学に対する造詣がとても深い方・・・
代数幾何学(おそらく楕円関数論的なほうじゃないかな？)に詳しい方らしい。
数学の話、絵を描く人と数学の話、アーベルの書いた論文の話、ポアンカレ予想を解決した論文の話・・・Ｃｏｓには太刀打ちできない・・・∥>_<∥

写真やＣＧでは決して描き得ない「絵｣の感性の話・・・・

数学をやっていた人たちが美術の世界に入っていく話(逆は余りなさそうだけど)や関数模型を撮った杉本博司・・・

多摩美術大学では数学の授業もあるのだとか・・・曲線や曲面の持つ、数学の持つ美しさを考える可能性を秘めているんだろうなぁ・・・どんな勉強をしているのだろう？

よもや美術館で数学の話をすることがあるなんて思いもしなかっただけにとても新鮮で楽しいひと時だった。

またどこかでお目にかかれると面白いけれど、どうかな？

ただ・・・時間がなくなってしまって十分に絵を見てこれなかったのが心残りかな。
ま、近いうちにもう一度行って来よう。

数学は美術だ？

友達が出品するというので「現展」を国立新美術館に見に行ってきた。

公募展ということで普段見に行く美術展とは違っていろんな人が描いているのがそれなりに面白い。
素人のＣｏｓが見ても「これはいいなぁ」というのは数点あったけれど、「絵が上手」というだけの範疇の人も少なくない。(さすがにＣｏｓが見ても下手だと思うようなのはほとんどないが・・・）

展示されている作品の数も半端じゃないから、会場をぐるっと回るだけで見飽きるほどなのだが、今回はこんなのも・・・

しかもこれは絵じゃなくてポスターなのだ。

確かに数学とアートは近い・・・何よりもＣｏｓが両方好きなんだからそれは間違いないけれど、美術展を見に行って数学教室と出会うとは夢にも思わなかった＼∥^O^∥／

で、筑波大学数学系のwebページを見に行ったら、この雰囲気そのままのトップページでとてもうれしくなってしまった。

「You are always welcome !」こういうところでＣｏｓもまた勉強したいなぁ・・・
(もう頭が付いていかないだろうけど・・・＿|￣|●)

試験前に視聴覚教室

とっくに試験範囲が終わってしまった高校3年生の演習の授業でそれまで時間が取れなくてグラフを動かして見せることの出来なかった何題かの問題(生徒から質問のあったもの)をGRAPESを使って視聴覚教室で見せた。

こういう感覚的にどうなっているのか分からない問題に対するビジュアル的な理解にはGRAPESが圧倒的に威力を発揮する。

教室でいつでもささっと見せることが出来れば一番いいのだが、現実には「よっこいしょ｣とパソコンとプロジェクタ(それも黒板モードのないものを他から借りてきて･･･教科ではいまだに買ってもらえないのだ・・・)を担いで
教室に模造紙を張ったり(カーテンが薄いから模造紙を張ってもよく見えない∥;_;∥）、
遮光カーテンのある教室を借りたり(今年は教室の空きがない)、
視聴覚教室を使ったり(あまりに教室の雰囲気が違っていて必然的に生徒たちが落ち着かない)・・・・
コンピュータ教室を使わせてもらう（「使う｣じゃなくて「使わせていただく」という感じ)
なんてとてもとても出来る職場じゃないし・・・

まあ、GRAPESの授業は何度も去年やったクラスだから授業の構成自体には慣れているし、高3の貴重な時間ではあるけれど、試験範囲は終わっているからちょっとぐらい集中できなくてもまあいいかと腹をくくっての授業∥^O^∥

受験に数学の必要のない生徒もいるし、試験前だし、診ようとしない生徒がいるんじゃないかと思ったけれど、(おしゃべりは多いもの)予想外にみんなよく見ている。
おしゃべりもいつの間にか「グラフが」とか「ａが」とかという単語が聞こえるようになってきて＼∥^O^∥／

分かったかどうかは別として絶対値を含むグラフのコンピュータでの書き方も感動を持ってみてくれたし・・・・

で、時間が15分ほど余ったので、今回の試験範囲には入らなかったけれど、正四面体の外接球と内接球を見せた。

最初はこれ・・・

「立体視してごらん｣と・・・∥^O^∥
しばらくするうちに何人かが「出来た、浮いてる｣と言い出したので、動かして見せた。

が、当然見える生徒と見えない生徒が･･･不満そう∥^O^∥

というわけで

取り出して見せたのがこれ。

準備が間に合わなくて、人数分は準備できなかったし、Ｃｏｓは不器用だから作るのがすごく大変なのだ＿|￣|●
立体めがねだったら間違いなく大騒ぎになるのだが、これは誰も騒がずあっさりと受け取って

を見せて回転させた。

これはみんな感動していた！！

「浮いてる」、「すげぇ」、｢回る」・・・・・

・・・・えっと・・・外接円の中心が各頂点からの距離が等しい点であることを確認して欲しいんですけど･･･
いやぁ、すごくよく見てました・・・・中心がどこかなんていうのは考えなかったかもしれないけど･･･

【後日談】
で次の日の授業では「何か質問はありますか？」と聞いたら、前日に見せた問題をもう一度黒板で解説させられた。
みんな、かなり真剣に聞いていたからちょっとうれしかったかも。

携帯用ふらっしゅ

ふらっしゅでぱらぱらアニメを作るのはもうずいぶんやっている(割にはぜんぜん成長していないのだが･･･)。
でも生徒たちは携帯でwebにつないでいるのだ・・・
と言うわけで携帯用ふらっしゅを作ってみた。

忙しくて時間がなかなか取れないので、今のところ自動で動くアニメーションしか作れないけど・・・・

神様ごっこ

四月の最初の魔法のカードの授業。

日蝕の話をして
誰もそんなことを知らなければ時間を調べておいて『私は神である。その証拠に太陽を私の力で隠してみせる』といって神様になることが出来る。
日蝕の存在を知っていれば『いつ日蝕が起こるか神様が私に教えてくれる。私は神の代理である』
と神様の代理になることが出来る。
どうして日蝕が起こるか知っていれば日蝕がいつ起こるかは知らなくても、だまされることはない

なんていう話をして・・・・
「どうやってＣｏｓが数を当てているのかわからなければ、Ｃｏｓは神様だぞ」と・・・・∥xx;∥☆＼(--メ)
「神様には貢物をして何でもいうことを聞くんだぞ」・・・＼∥^O^∥／

が、困ったことに・・・・・
「もういい！！　(わからないから)先生は神様でいい！！」
う～む・・・・＿|￣|●
こまった・・・

もうひとつのリヒター

国立近代美術館の常設展の「9つのオブジェ」、ペンローズの三角形のように現実にはありえない(ペンローズの三角形は見る角度によってそうなっているように見えるものが作れるけれど)立体の写真(の様なもの)

イメージ検索をしてみたけれど、この「9つのオブジェ」は見つからなかった。

この作品を見たときに作者の名前「ゲルハルト･リヒター」に見覚えがあったのだが、それもそのはず、2005年に川村記念美術館での「リヒター展」見てきているのだ。
そのときとはかなり感じが違っているけれど、「目に映るもので遊ぶ」と言う感性はおなじでとても面白い。

近代美術館は常設展示も展示替えが多いから、いつでもあるというわけに行かないので、今の展示のうちにもう一度見てこないと･･･

理系の学力

目に見える部分だけからはそういう結果が出ても不思議はないのかもしれない。

理系高３の数学力、３０年前よりアップ .

　問題のうち約３０問を国際教育到達度評価学会（ＩＥＡ）が理系高校生に行った１９８０年度の国際数学教育調査（ＳＩＭＳ）と同一の問題にし、比較した。その結果、今回調査のほうが成績が上だった問題が全体の６６・３％もあり、同程度が２１・７％だった。８０年度より成績が下回った問題は１１・９％にとどまった。同研究所の澤田利夫所長は「理系の生徒の学力は長期的にみて低下していないことが証明できた」と話している。

今は教え込む問題の演習量がＣｏｓが学生のころと比べて圧倒的に多い。かつては解答なしに自分で解いて解けずに苦しんでいたのが普通だったのに、今はわからなければまず解答を見て理解して解けるようにしていく。

その結果、やった問題は解けるけれど新しい問題が解けないようになってきているのではないだろうか。

30年前に解けた問題が解けて同じ学力があるのかどうか・・・・問題数をこなせば理解力、応用力はなくてもある程度の点数は取れるからなぁ・・・

今の生徒たち、わからなければまず解き方を教えてもらおうとする。そうやって得た知識が学力なら知識としての学力は決して劣ってないのは確かだ。

それが真の学力かどうかはまた別の問題かも。

交差法

3D-GRAPESがリリースされた。

以前からの試行版でも[色眼鏡」を使った平行法による立体視ができてはいたのだけれど、今回、交差法による立体視もできるようになった。
(クリックして拡大しないと見るのは難しいかも)

授業でもこれを使おうと思っていたのだが、
「交差法が出来ない」と言う友達がいてはじめて気がついた。
出来ない人って決して少なくないのだ・・・

やっぱりめがねを作らないとだめかなぁ・・・

続きを読む "交差法"

命題とは

今日の授業。

「命題とは正しいか正しくないか判断できる文章や式のこと」と説明してから、
「命題かどうかが大事なのは理系よりも文系かもしれない。
なんといっても数学は命題か命題じゃないかは簡単に判断できるし・・・」
と状況証拠と仮説の違いについてかなり話したのはこのところの歴史ごっこの成果だろうか・・・

・・・数学だってＣｏｓにとっては本当は簡単じゃないんだけど・・・∥^O^∥

過去を探る

Ｃｏｓは歴史が好きじゃないし、先日も徳川展に行ってきて会場に入った瞬間にそれを確認してきてしまった。

ところが、「好きじゃない｣といっても実際には教科書的な歴史が好きじゃないだけで、過去に何があったのか、どうやって暮らしていたのかなどを知ることは決して嫌いではない。

その当時の人たちがどうやって暮らしていたのかとか(戦いや争いを含まなければ)特定の人がどうやって生きてきたのかを知るのは結構面白がっている。
(人と戦う人の話は嫌いだが・・・)

数学氏の中で関孝和といえば当時の代数学者に当たる人で、Ｃｏｓなどの大先輩(えらさはまるっきり違うが・・・∥^O^∥　）。
その彼がどうやって生きてきたのかというのはとても興味がある。

asahi.com：江戸時代の数学者・関孝和、菩提寺の過去帳調査 - 暮らし.

　天才数学者は幼い娘の死を乗り越えて研究に没頭していた――。鎖国時代、欧米の影響を受けずに方程式の解き方や行列式を編みだし「算聖」と称されながら、その暮らしぶりなどが謎に包まれてきた関孝和（１７０８年没）の横顔の一端が明らかになった。

ｔ：１－ｔ

今まで何度となくコンピュータを使って授業をしている(といっても実際に使わせるだけの余分の設備も時間もないから見せるだけなのだが･･･＿|￣|●　)のだが、今日はじめてベクトルのところでも授業をしてみた。

ベクトルの場合の一直線上にある条件からはじめて、線分の交点の位置ベクトルを求める問題

三角形ABCの辺ABを２：３に内分する点をE、辺ACを３：４に内分する点をFとするとき、BFとECの交点の位置ベクトルを求める

といった類の問題を解説した。

GRAPESを使ってこんな図で直線上にある条件をいろいろと比較した後で、

こんな図で手作業でQとRを一見、重ねることで交点がどうなっているか調べた後、領域を拡大表示して一致していないことをみせた。
（なぜか、「ずるい」という声が聞こえたのだが・・・∥^O^∥　）

その後、教科書どおりに
「EP:PC=ｔ：１－ｔとおいて・・・」
とやったのだが、今までに何人もの生徒から、「どうしてこんな風におくんですか?｣と聞かれ続けてきたのに、今日に限ってはまったく質問が出なかった。

後半の一次独立性のところで時間がなくて説明を急いだせいもあって質問をいくつか受けたのだが・・・

まあ、大急ぎで作ったファイルでやったにしてはうまくいったわけなのだが、あれだけ苦労して今まで教えてもうまくいかなかったことが「当たり前のこと」として受け止められるのはうれしいのやらなんだか癪にさわるやら･･･
ちょっと複雑かも。

明日までに・・・

忙しいときには忙しいことが重なる・・・
というよりはせっせと自分で作っちゃうのかもしれない∥>_<∥

成績もほぼつけ終わって、点とくじの慰霊の会も無事に終了して、ほっと一息。
のはずだったのだが、中間試験が終わってみると「あれもＧＲＡＰＥＳ、これもＧＲＡＰＥＳ」状態。
ほとんどファイルの準備も出来てないのに明日、2種類の授業・・・＿|￣|●

確かに慣れてきて、一つ一つのファイルはさっと作れるようになったのだが、う～む・・・

特にベクトルは今までやったことがないのでなんとなく不安。
何をしたいのかもわかるし、どうすればいいのかも判るけれど、生徒にちゃんと伝わるかなぁ・・・
どういう風にまとめれば一番わかりやすいか、これから考えないと・・・

というわけで今夜も忙しくなってしまった＿|￣|●

結局ｇｉｆファイル?

生徒のためにＦＬＡＳＨを作ろうとしたら、
「先生、それパソコンじゃないと見れないでしょ・・・・
終わった;あ･･･」といわれてしまった。

彼らにとってはパソコンよりも携帯の方が身近なｗｅｂ・・・
というわけでＦＬＡＳＨを作る前にgifのアニメーションを作ってしまった∥>_<∥

以前はこういうファイルをいつもgifで作っていて、自由が利かないのが気に入らなかったんだけど、結局元に戻ったような気もする∥^O^∥

台形の面積や解の公式

記事を読むと「復活」という印象もあるけれど、実際には当然のこと、あるいは現行を認めたという感じ。

asahi.com：「台形の面積」、小学校算数で復活へ 文科省が素案提示 - 暮らし.

　学習指導要領の改訂をめぐり、文部科学省は１８日、小学校算数に「台形の面積の求め方」、中学校数学に「２次方程式の解の公式」などを盛り込む素案を中央教育審議会（文科相の諮問機関）の算数・数学専門部会に提示し、おおむね了承された。いずれも、前回の改訂で教える必要がなくなった内容で、早ければ１１年度から復活する方向だ。

　素案では、「理数教育の充実」のため算数・数学の全般にわたって学習内容を増やす。具体的には、現在中学で教えている「文字を用いた式」「反比例」「対称な図形」を小学校に、高校で教えている「有理数と無理数」「面積比と体積比」「球の表面積・体積」などは中学に移す。

解の公式や有理数と無理数については「ルート｣を習ってから出ないとできないからまぁ仕方ないけれど、「面積比と体積比」「球の表面積・体積」は中学生レベルというよりは小学生レベルじゃないかと思う。

特に球に関しては「証明」を習った後で、証明せずに「こうなります」という形で教えるのは数学的論理の一貫性にもかけることになる。
せめて「証明」ということを習う前に教えるのがいいと思うのだが、中学で習うことになると論理性にやはりかけると思うのだが･･･

それにしても、今高1で習っている平面幾何はそのまま残ることになるのだろうか・・・・

理解の仕方

このところよく分かってないことを使おうとして悪戦苦闘を続けていた。
理屈としては分かっているつもりだったのだが、いざ実際に使ってみようとして実は分かってないことに気がついてしまったのだ。

「点AをOBの周りにθだけ回転した点P」を与えるコマンドがGRAPESの3Dタイプ(今のところ試作品)のものにあるのだが、使ってみるまではどういうことなのか分かっているつもりでいたのだが、実際に使ってみるといったい点Pがどこに行くのかほとんど分かってないのだ＿|￣|●
どこへ行くのか、予想を立てるのだが、それがこっちの思うようなところには行かないのだ。

(具体的にはGQの周りに30度回転させるとG(重心)を外接球の中心とする正四面体ABCDはどう移動するかを考えるのだが･･･
紙に書いて考えると大体分かるけれど、どういう風に動くのかのかさっぱり分からなかったのだ・・・
＿|￣|●　)

（こたえは「続きを読む」から・・・）

まあ、それが分かるようになるまでには試行錯誤でいろいろとやってみてやっと「わかった」状態にはなったのだが、その分かったことを言葉に表すと最初とかわらない。

理屈が分かっていたことが感覚的にも理解できたと言うことなのかなぁ・・・

「わかった」と言うけれど、やらせてみるとぜんぜんできない生徒の理解の仕方が少し「感覚的に」分かったかも。

続きを読む "理解の仕方"

講習会

9日と10日はＧＲＡＰＥＳの講習会。

普段の授業でも使っているのに、講習会に出るのは今回がはじめて・・・
今までも何度となく出たかったのだが、会場が「大阪教育大」・・・・遠いし・・・

が、ちょうど1年ぐらい前に友田先生と直接お目にかかってから「来年こそ行くぞ」と思っていたら、友田先生のほうから東京に来てくださった＼∥^O^∥／

春に他のスタッフの方ともお目にかかったので、今回はいろいろなことを学ぶだけじゃなく、友田先生をはじめそうした方々とお目にかかるのも楽しみの一つ。

やっぱり皆さんすごいなぁ・・・と痛感する一日だった。

明日、もう一日講習。まだ教えてもらえることがあるのもやっぱりうれしい。
ちゃんと消化できるかなぁ

比の感覚・・・こんな感じ？

どんな風に図を見ているのかをFLASHにしてみた。

を考えるときの頭の中はこんな感じかな。

比の感覚のFLASH

PQの長さは実際には数字が見えているわけではなく、変化しているということを認識している程度かな。

続きを読む "比の感覚・・・こんな感じ？"

感覚的数学

Ｃｏｓの授業は感覚的な部分がかなりある。
というか、理詰めで話をしてもすんなり分かってもらえないからなのだが･･･

他の場所で数学の感覚の話をしていたら学生だったころのことを思い出した。

大学に入って今まで思っていた理詰め、証明の数学ではない数学に出会ったときのことを・・・
Ｃｏｓは大学に入るまでε－δ論法を知らなかったのだ。
いくら説明されても、本を読んでも納得できなかった上に先生が
「これは理屈じゃない。感覚的に理解できるものなのだ｣といわれてものすごく驚いた。

といわれたって、「はいそうですか」と納得できるわけでもなく分からないままに時間が流れた。
が、あるときすーっとε-δの図が頭の中に浮かんで動き始めた。
図としては教科書や先生の説明にあったものと同じなのだが、それが動いてすんなりと感覚的に納得できたのだ。

たぶん、これがＣｏｓの理詰めだけではどうにもならない数学との最初の出会いだったのだろう。

それから先は感覚的に理解したことを証明で埋めていくみたいな形の勉強をずいぶんやったような気がする。

いつの間にか、そんな風に考えていた比があったことを忘れてしまっていた。

証明は数学的感覚の正しさを示す道具にしか過ぎないのかも。

数学的感覚・・・・たとえばこんな問題

ＡＤ//ＢＣ　ＡＤ＝５，ＢＣ＝８の台形で
ＡＢ、ＤＣを２：１に分ける点をＰ、Ｑとするとき、ＰＱの長さを求めよ。

これを感覚的に考えるなんていうのもそうなのだが･･･

数学でも金

数学でも金メダルというのはなんと言ってもうれしいし、去年よりも日本としての成績も上がったのはうれしい。

asahi.com： 国際数学五輪で日本の高校生、金２・銀４ 全員がメダル - サイエンス.

　ベトナム・ハノイで開かれた第４８回国際数学オリンピックで、文部科学省は３０日、私立高田高（三重）３年片岡俊基さんと筑波大付属駒場高（東京）１年副島真さんの２人が金メダル、４人が銀メダルを獲得し、日本代表の６人全員がメダルを獲得したと発表した。

が、一方で普段Ｃｏｓが見ている生徒たちの考える力が落ちているのとこのことが結びつかないのがとても怖い。

能力の二極化？

理論的勝敗

○と×を交互に書いていって3個並んだほうの勝ちという○×ゲームの必勝法を知ったのは小学生の時だっただろうか？

勝つわけではなくて「負けない」手の打ち方を知ってしまったためにすっかりこのゲームがつまらなくなってしまったのを今でも覚えている。

ま、高校生でも必勝法(じゃなくて負けないだけだけど）を知らない生徒もいるのはちょっと不思議だが、こういうゲームの必勝法を考えるのは結構おもしろい。

でも・・・チェッカーの必勝法を考えるのはとてつもなく大変。

asahi.com： 「チェッカー」ゲーム、１８年半かけ解明 カナダの大学 - サイエンス.

　縦横８升の盤上で、敵味方１２個ずつの駒が動くパターンは、５掛ける１０の２０乗、つまり５垓（がい。垓は兆の次、京の上の位）通りもある。解明の結果、双方がミスをしなければ、必ず引き分けに終わることが分かった。このことは名人の間では数十年前から予想されていたという。

この必勝法(これも正しくは負けないだけなんだけど)が計算されたというのだ。
「負けない方法」が分かったからといってとてもじゃないけど人間に実践できるとは思えないけれど・・・∥^O^∥

そういえば五目並べ必勝法はあるのかな？

うまく出ない・・・

一学期の終わりにやったGRAPESを使っての授業の内容をFLASHにしてみたのだが、
どうもうまく座標の線が出ないのが気に入らない。

文字定数を含む直線のFLASH

分からないものはｘ？

「なにをとおくかをきちんと書け」という指導はどこの学校でもやっていると思うのだが、なんでもかんでもとおけばいいと思っているのも少なくない。
もちろん、なにをとおいたかなんていっさい書かずにこっちが悩むに任せてくれるのだ・・・∥>_<∥

たのむから、さいしょのとつぎのが違う・・なんていうのは勘弁して欲しい＿|￣|●

「何でこんな変形ができるんだ？」としばらく悩んだ挙句、おなじでも意味するところが違うものだと気がついたときの脱力感・・・
しかも一人とは限らないし・・・・＿|￣|●

濃度の問題

今日問題演習をやっていて、濃度の問題が小学生レベルから分かってないことが発覚してしまった。

とりあえずざっと教えておいたけれど、ちゃんと分かったかなぁ・・・

たぶん・・・売り上げと利益に関する問題も分かってないんだろうなぁ・・と不安

グラフを動かす

前日の夜せっせと作ったGRAPESのファイルで昨日は授業をした。

去年教えていた生徒たちはグラフが動くということを知っているけれど、今年から教えている生徒たちはそのことを知らない。
初めてグラフを動かして見せたときの生徒たちの驚きはいつ見ても新鮮。

本当は自分で動かしてみて初めてグラフ・・・関数がスタティックなものではなくダイナミックなものだと実感できるんだけど、そこまでやる時間の余裕も、使える場所も、Ｃｏｓの余裕もないのが残念。

濃度は公式?

Ｃｏｓは中学生の授業を持ってないから罪悪感は感じずに済むんだけど、生徒がこんな風に考えているなんて予想もつかなかった。

あれから１年経ちました｜次世代を担う子供たちの現在そして未来.

　今年は、「全部で５００グラムの中に塩は１５グラム」 の段階で濃度が言えている。でも話を聞くと、ほとんどの生徒が「アタマの中で公式にあてはめ暗算で解いている」状態のようだった。

３％が一瞬で出せる理由を話したら、「おぉ～」と感動している生徒がけっこう多かったのでニンマリ。

これじゃ、たとえ相手が高校生であっても、
「５００ｇのなかに１５ｇの食塩だから１００ｇだったら３ｇだから３％でしょ」といっても理解するまでにタイムラグがあるのは当然かもしれない。

Ｃｏｓは子どものころ、濃度の問題は「１００ｇに直すと何グラムになるか｣を考えないと解けなかった（だから時間がかかった)ので、濃度はそれが基本だと思っていたのだ・・・∥>_<∥

公式でしか理解(それを理解というのかはかなり疑問だが)していないとなると話し方を変えないといけないかも。

小学校ではどう習っているんだろう?

時間がかかった

今日はこんなものを作っていたらすっかり時間が遅くなってしまった。

フラッシュは見たことがある人が多いだろうなぁ・・・・何しろ去年作ったままだから・・・
今年はさすがに時間がなくて新しいものが作れない。
忙しいのはＣｏｓにはいいことなんだけど・・・

続きを読む "時間がかかった"

見過ごしてきた責任

「間違うのも結構いるに違いない」と思って作った問題だけど、ほとんどが間違っているとは夢にも思わなかった問題がある。

(ちょっと違うけど)

のとき

を計算させる問題。

ほとんどが６２５と答えてマイナスを落としてしまっている。

これは
との意味を理解していないと言うことなのだ。

こんなに出来が悪いとは思わなかった・・・そのことに気がついていなかったＣｏｓにも責任がある。
今回この問題を出していなかったらずっと気がつかないままだっただろうと思うと恐ろしい・・・
意味の違いを今一度しっかり身につけさせないと・・・＿|￣|●

アメリカの算数

こんな計算を平気でするんだろうか？

Math Education: An Inconvenient Truth(続きを読むにあります）

問題のシーンはこれ。

こういう式は絶対に書いちゃいけないと教えてきているのに・・・・
普段の授業では口をすっぱくして

２０×３１＝６２０は６２０＋１５５と同じゃない
と教えているのに・・・

でも、

これだと問題は感じない。
「式｣じゃなくて「計算｣だからだろう。
「計算｣として考えれば上のイコールも問題がないのかもしれない。

が、「式｣と「計算｣の違いを最初から理解できているわけじゃないから、教える側は絶対に使っちゃいけないと思うのだが･･･

このビデオはシカゴ大学で編集された数学(と言うより算数)の教科書の宣伝用のビデオのようだ。
このEveryday Mathematicsはいかがわしい本じゃなくてかなりまともな本のように見えるし、ビデオもなかなかおもしろい。

「そんな計算するかぁ？｣と言う部分もあったけれど、等号の使い方以外はおもしろかったし、
なかには同じ掛け算でも、Ｃｏｓにも使えそうなのもあった。

続きを読む "アメリカの算数"

びっくりしたらしい

今日から場合の数の授業。

中学と違って、全部書き上げられないような場合もやるという話をしてから3人を一列に並べる場合の確認。
「じゃあ、クラスの全員が一列に並ぶ方法は何通りあるか？樹形図を応用して考えてみよう｣
ここはいつもすんなり行く。

40人のクラスならちゃんと

４０×３９×３８×・・・×３×２×１

が出てくるのだが、問題はここで、
「じゃあ、これは樹形図で描けるだろうか？｣

けっこう「描ける」と言う生徒が多いので、
「いくつぐらいかけばいいのかな？｣とアンケートをとってみた。

最初のうちは1000とか2000とか･･･
そのうちに式の形を見て「おかしい」と思い始める生徒も出てきて＼∥^O^∥／
それでも普通でてくのは「1億｣とか「1000兆」とか止まり。
が今年はかなり考えて、「もっとおおきい」と言う生徒がもいて＼∥^O^∥／

この数字を４０！とかくことを教えてから40！の答も出ている表を渡す。
で、「読んでみよう」・・・読めるはずがないのである。
「しかたがないなぁ」といいつつ、漢数詞の表を渡す。
必死で読んでいる・・・難しいようだ。

何とか読み終わってからこれからどんなことを勉強するかの話。

ついでに、何回か前の授業で「こんなのいらない」といった生徒がいたこともあって、数字の指数表現の話をして授業が終わった。

生徒たちはおもしろかったようだし、Ｃｏｓも楽しかった。

実際には試験前で時間的に厳しかったんだけど、こういう授業もないとなぁ・・・

GRAPESの講習会

　毎年のように参加したいなぁと思い続けてきたGRAPESの講習会、今年は東京で行われる
＼∥^O^∥／

GRAPESはいつも気軽に使っているけれど、実は習ったことがない。

大阪は遠いし、それなりに使えているからいいやと思っていたのだが、実際には使っている部分については知っているけれど、使ったことがない部分についてはそれがどんなに便利であっても分からないのだ。

去年の夏にそれを痛感したので、今年は何とかして参加しようと考えていたところだったのでとてもうれしい。

と言うわけで申し込みはしたけれど、日程は8月9日、10日・・・大丈夫だろうか･･･

食塩の濃度

食塩の濃度は算数の問題としてよく出題されるけれど、飽和溶解度は２６％ぐらいだから、３０％の食塩水などはありえないはず・・・・だったのだが・・・

asahi.com： 地中海の深海底に巨大な塩水湖 死海より濃い塩分濃度 - サイエンス.

　ギリシャ沖の地中海の深海底で、塩分の濃さが通常の１０倍近い巨大な「塩水湖」を東京大海洋研究所などのグループが見つけた。塩水湖は長さ８０キロ、幅１キロ、深さ１００メートル。近くに岩塩があって、溶け出して濃くなった海水は重く、静かな海底のくぼみに湖のようにたまったらしい。

　地中海は６００万～５００万年前に海水が蒸発し、一度はほぼ干上がったと考えられている。海底に当時の岩塩層があり、こうした塩水湖があちこちにあるとみられていた。グループは今年１月末～２月上旬、海底の様子からギリシャ・クレタ島の南西１００キロ沖で調査。水深２９２０メートル付近の「湖面」を境に、塩分の濃度が急に高くなっているのを確かめた。

　塩分濃度は３２．８％で海水（３．５％）の１０倍近く、アラビア半島の死海（２５％）より濃い。ロボットで観察すると、海底から塩水湖に向かって白い筋が伸びている様子も分かった。溶けた岩塩の可能性があるという。

深さ100mだから、圧力がまるっきり違うので本当は比較の対象にはならないのだけれど、そういう濃度が実在することを覚えておかないと∥^O^∥

死海では泳げるけれど、ここでは泳げないし、
２５％の食塩水と３２％の食塩水を混ぜることも難しいだろうなぁ

やさしいことと迎合すること

やさしくすることと迎合することはまったく違う。
やさしくするように見えていて実は迎合しているだけなら何の役にも立たない。

asahi.com：高校教科書、二極化 学力格差浮き彫り - 社会.

　高校の主に２、３年生が来春から使う教科書の検定結果が３０日公表され、広がる学力格差に対応せざるを得ない状況が浮かび上がった。小中学校の復習をより重視した版が出る一方、「下げすぎは意欲を失わせる」と揺り戻しの動きも。難関大学を目指す生徒向けには、最新のノーベル賞を題材にする教科書も出てきた。

　●苦手な生徒へ「工夫」、マンガいっぱい・分数を復習

　高校用では、もともと難易度に差をつけた教科書を出す出版社が多い。３種類が主流の数学ＩＩでは、新興出版社啓林館が今回、さらに内容を易しくした４種類目を出し、合格した。

　１８３ページ中、半分以上にイラストがある。うち２０ページ弱には吹き出しつきのマンガが載る。「数学が苦手な生徒に入り口のドアをノックしてほしい。マンガやイラストは思わず開いてみたくなるように使った」と担当者。学習指導要領の範囲を超えて学べる「発展」は、もちろんない。　

検定申請時には合格本の３倍以上のマンガを盛り込んだ。だが、「学習内容との関連が不明確」などの意見が大量についた。同様にマンガを入れて１年前に合格した数学Ｉに、教師から「かえってポイントが絞りづらい」との指摘が寄せられたこともあり、大幅に減らした。ちなみに文部科学省は「マンガがダメなのではない」と説明している。

　易しい教科書には工夫が随所に見られる。啓林館や数研出版などでは、小学校で習う分数の計算を復習用に載せている。「発展」の逆の発想もある。東京書籍は、やや高度な内容に「チャレンジ！！」の印をつけ、省略が可能なことを暗に示している。

　教科書編集に携わったことがある山形県立山形東高校の長澤義博教諭は、ゆとり教育による授業時数の減少で、高校によっては計算力が定着しないまま入学する生徒がいることを実感している。「高校で一気に内容が進み、ついていける生徒とそうでない生徒でさらに差が開く」と話す。

「入り口のドアをノックしてほしい」か・・・・ノックした後はどうするんだろう？漫画やイラストを使って面白そうに見えても、形だけで中身がおもしろくなければ変わらないんじゃないかな。

外側が面白そうに見えても実は表現として迎合しているだけなら、一旦は食いついてもすぐに離れていくような気がする。
(そうかどうかは実際に見てみないとなんともいえないけど)

実際にはそういう人たちが「おもしろい｣と感じる授業ができるかどうかなんだけどなぁ・・・

といいつつ、そういう人たちに最初から切り捨てられていたらどうにもならないことを考えると
迎合しているだけのように見えてもそれはそれで価値があるのかもしれない。

とりあえず教室に座ってこっちを向かせることができれば、少しは食いつかせることができる（こともある）けれど、教室に座らなかったらどうにもならないものなぁ・・・

やりたくない人に
「さぁさぁ、見てごらん、
こんなにおもしろいよ～｣
「まあ、いいからやってみない？」
「小学校の内容？でもちゃんと高校の教科書に出てるよ。だからやろうね」
か。

「やっていただく」なんだなぁ

この教科書でも全部が終わらなくて一部しかできない学校もあるんだろうな。

学校によっては欠席者が多いから同じ授業を2度3度やらないと生徒がついてこれない
なんていうところもあるし･･･

学習意識調査 虚しい教育？

四則演算以外の数学（算数）は実際の生活に必要がないから学ぶ必要もない、
漢字は読んだりかけたりしなくてもワープロがやってくれるから必要はない。
地図が読めなくてもGPSがあるから目的地に行くことができるのだからかまわない
植物や動物、自然を知らなくてもマンションに住んでいれば必要ない
・・・
・・・
・・・
こういうところから文化は衰退していくんだろうなぁ・・・
世の中がそうなりつつあると感じている人は少なくないような気もするがどうだろう？

与えられるものを受け取るだけで自分からは意欲的に何かをしようとしない・・
受け取るのも自分が受け取りたいものだけを受け取って後はそのまま流してしまう・・

リンク: 学習意識調査：日本の小学生は中韓より「学ぶ意欲」低い－教育：MSN毎日インタラクティブ.

　目指す人間像の一つとして「勉強のできる子になりたいか」と質問したところ、「そう思う」と答えたのは東京が４３．１％だったのに対し、北京７８．２％▽ソウル７８．１％といずれも７割を超えた。「将来のためにも、今がんばりたい」と考える小学生も、東京４８．０％▽北京７４．８％▽ソウル７２．１％で、日本は将来の夢に向けた学ぶ意欲が低くなっている。

（中略）

　▽佐藤学・東京大教授（教育学）の話　高度経済成長期にはリンクしていた「勉強をすれば、いい仕事に就ける」という関係が、低成長時代の今は崩れてしまった。（学ぶ意欲の低下について）約１０年前から「学びからの逃走」と指摘してきたが、それが小学校段階でも表れた調査結果と言える。また、大人への信頼や権威が崩れ、大人たちが子供のモデルになっていないため、目標を見失い、さまよっているのではないか。

そういう世の中になりつつあるのなら、それを子どもが映し出していても何の不思議もない。
物事を作る（物質的に作るとは限らないけれど）側の人間と使うだけの人間に二極化してきているような気がする。
そしてＣｏｓが教えている生徒たちはその狭間にいるのかもしれない。

意欲的に取り組むわけでもないけれど、まったく意欲がないわけでもない。
詰め込み教育になりきれてもいないし、学習することの面白さを伝えることもしていないから、方向としては意欲を失わせる方向かもしれない。

かつてのように進学することが一部のエリートだけのものであり、そこを目指して意欲的に勉強するような生徒たちが集まっているところであれば今のような教育をしていても何の問題もないだろうけれど、意欲のない生徒たちが集まっているところではまずどうやって意欲を持たせるかから考えないといけないはず。

その一方で学力に目を向けずに考えさせる授業、考えることの面白さを伝えようとする授業では一つ間違うと学力的には何も身につけずにすごしてしまうことも可能だったりする。

続きを読む "学習意識調査　虚しい教育？"

横着をして・・・

なかなかうまくかけない立体の図を3D-GRAPESを使って書いてみた。
これをプリントに貼り付けると楽だけど、
何でもかんでも見せるのは必ずしもよくないけれど、
ぜんぜん考えられないのなら、見せたほうがいいし・・・

と悩み中∥^O^∥

三角いろいろ

「光るものすべて金ならず」・・・All that glitters is not gold.・・・
三角形でいうなら、思わず正三角形や直角三角形、せめて二等辺三角形であれば問題が解きやすいのにという願望からついついそういう三角形だと思い込んでしまう。

どんな三角形？（FLASHを作ってみました)

これは横にしか回転しないし、画像の枚数も少ない(その代わり軽い)思い通りの効果を出すには画像の枚数も増やさなければいけないし、四方八方に動くようにしないといけない･･･

ということ配列を考えて作らないといけないということで・・・・できるとは思うけれど手がかかりそうだ＿|￣|●
いずれにしても平面図形なら自分で描くこともできると思うけれど、立体になるとどう見えるのか・・・Ｃｏｓにもよく分からない時もある。

配列かぁ・・・う～む～～～やっぱりやらないとだめだなぁ∥>_<∥

立体を見せる

今の生徒に限ったことではないのかもしれないけれど、(たぶんＣｏｓ自身も含めて)空間図形というのはなかなか理解できない。

とりわけ今は中学までで十分にやってきてないから、立方体の切断面とか正四面体とかいってもなかなかイメージできてないように見える。

というか、どこなのかが分かってないのだ。

というわけで、急遽試作品の３Ｄ－ＧＲＡＰＥＳを使って授業をすることにした。

ＧＲＡＰＥＳのファイルを作ったり、ＰＰを作ったりして実際にできたのは午前２時。十分寝ないと身が持たないＣｏｓとしては思いっきり睡眠不足のまま授業へ・・・＿|￣|●

さすがにぐりぐりと動かして見せたら、「よくわかった」と納得していたし、断面が見る角度を変えると正三角形に見えたり二等辺三角形に見えたり直角三角形に見えたりすることも理解したようだったので、授業はほぼ成功

＼∥^O^∥／

　　

この３つは同じ立体。
この３つを連続的に変化させて、
「とても同じ立体には見えないですね。
見えたものがそのまま真実とは限らないので注意しましょう・・・何事も・・・｣
と∥^O^∥

ほかの立体も作ったけれど、体積を考えたり、高さを考えさせたりしたのはこれ。

これが今回の授業の最終目標だったのだけど、時間がやっぱり厳しかった。
もう少し例示を減らさないと無理かな。

友田先生（ＧＲＡＰＥＳの作者の先生です)、ありがとうございますm∥_ _∥m

が、Ｃｏｓは・・・夜になったら起きていられないほど眠くて、やらなきゃいけないことが何も終わらないまま気絶・・・・(本当にほとんど意識なしに布団に入って、そのまま意識がなくなったのだ)
朝になって意識を取り戻してもなかなか布団から出られなかった＿|￣|●

ねむい・・・・

センター試験の平均

大学入試センターの発表によると

数学I・Aが54.26
数学II・Bが51.20

もうちょっと行くかなと思っていたのだが、予想ほどは得点が伸びなかった。
受ける人が増えたために平均が下がったということなんだろうか？
それとも生徒全体の学力が下がったということなんだろうか？
それともＣｏｓの読み誤り？

が・・・いずれにしても絶対値はしっかりやっておかないとなぁ・・・
みんな苦手だし∥>_<∥

難しい・・・

このところGRAPESで遊んでいるのだがなかなか難しい。
できないはずはないし、どうすればいいのかも大体わかっているのだが、なんだかすごく面倒なのだ･･･
いや、もっとちゃんと考えればそんなに大変ではないはずなのに、それがうまく思いつかない･･･

都合のいい画像だけでFLASHを作ればたいしたことはないのかもしれないのだが･･･

そのFLASHもぱらぱらアニメだけじゃなくてもうちょっとましなこともしたいのに・・・
もう新学期が始まってしまう・・・＿|￣|●

グラフを重ねる

新学期になったら授業で使う予定なので、こっちに･･･∥^O^∥

FLASHはこちら

GRAPES３D

空間を描くのは難しい。しかも、空間を理解して考えるのはもっと難しい。空間の授業はその難しさからスタートする。
そんなときに役に立ちそうな、３DのGRAPESがweb公開された。
やっとという感じもするし、いよいよという感じもするけれど、なかなかＣｏｓには使いこなせそうもない・・・

こういうことだけじゃなくて、もっと難しいこともできるのだが、使いこなせる日は来るのかなぁ・・・

数学の女王

数学の女王といえば、「整数論｣
実のところ整数論は余り得意ではない。とっつきやすく見える反面、実はすごく難しいというのがＣｏｓの印象だ。

asahi.com：素数の歌はとんからり�-�ニッポン人脈記.

　素数など整数の性質を研究する整数論。９５年に解決されたフェルマー予想、最難問といわれるリーマン予想はいずれもこの分野の問題であり、ドイツの大数学者カール・フリードリッヒ・ガウスは、整数論を「数学の女王」と呼んだ。問題を解くのに、あらゆる数学の知識を「しもべ」のごとく扱わねばならないからだ。

　そんな整数論は、日本のお家芸である。日本の数学を世界レベルに引き上げた高木貞治（たかぎ・ていじ）が、１９２０年、素数と素数の関係をあきらかにする「類体論」を創始したのがきっかけだった。戦後も岩沢健吉（いわさわ・けんきち）、志村五郎（しむら・ごろう）（７６）らきら星のように世界的数学者が輩出している。加藤もその系列に属する。

一応代数系のはずなので、類体論とかゼータ関数とかは聞いたことがあるはずなのだが、どうも苦手。

それにしても新聞に数学者の記事が出るなんて、ちょっとうれしい。

スーパーエッシャー展

子どものころ、それがいくつぐらいのときだったのかははっきり覚えていないけれど、エッシャーの「メタモルフェーゼII｣を見たときのショックは忘れられない。

一枚の長い長い絵が連続的に変化をしていろいろなものを、それもそれぞれ二つの形で平面を埋め尽くす(大人になってから平面の正則分割ということを知ったのだが)形で、この世にこんな絵が存在することが驚きだったのだ。

それがＣｏｓを数学の道に進ませる事になったのかどうかはわからないけれど、このときにはじめて、「位相幾何｣という言葉を聞いたのかもしれない。

というわけで子どものころから好きだったエッシャーだから、平面の正則分割やだまし絵の有名なものは全部知っているはず。
だから、行く前には早々目新しい絵はないものと思っていたのだが、いってみたら、こうした数学的な絵ばかりではなく、初期の作品も展示されていたのだ。

なかでもびっくりしたのはバッハのインベンションを絵で表した作品。音程を円盤の半径で表したもので、ニ声のインベンションだから、二つの円で表すのだ。
これがコンピュータの助けを借りて、音楽に合わせて変化するCGが展示されていたけれど、若いときの作品にもかかわらず、ものすごくエッシャーらしい感じがした。

結局インベンションの1番を5回ぐらい聞いただろうか∥^O^∥
数学的な音楽表現という感じがして、立ち去りがたいものがあった。

また、イタリア時代にかかれた風景画などもいわゆるよく知られているエッシャーらしさではないけれど、どこか数学的なにおいのする版画だったし、夜のローマのシリーズでは彫り方の線を一枚一枚変化させて、数学的な版画の実験という印象もある。

この辺の絵が、絵としては今回の一番の収穫だったかも。

そして、CG・・・

絵の中のエッシャーワールドが目の前に現れてくる。

Depthの魚が実際に空間を埋め尽くしているのを見るのは壮観だった。
この魚の原型になっている「立方体による空間分割｣のほうは実際に画面に触れて動かすことができて、面白かった。

さらに、エッシャーノートの中のタイル・・・これは実際に作ってみたい・・・・も幾何学的にはとても面白かった。

そして帰りにはもちろん、ガチャガチャ・・・∥^O^∥
一番欲しかった、Depthのお魚もゲットできたし、Curl Up(でんぐりでんぐり)も手に入ったし＼∥^O^∥／

GRAPES6.50

いつも授業で使わせていただいているGRAPESの新しいバージョンが出た。

今回はいろいろと変更点があって、大きく変わった部分もあるのだが、何と言っても今までよりいろんな色が自由に使えるようになったのがうれしい。
実際にはそんなにいろんな色が使えても教室で、スクリーンは模造紙だったり黒板のままだったりするから、そんなに微妙な色は出せないのだが、それでもいろいろな色を使って遊んでしまった。＼∥^O^∥／

と言っても実際にはこの図のピンクの縦線のところだけが新しい色なのだが･･･

作図の授業

今は作図を授業の中でやるところはあまりないのかもしれない。

以前は中学で履修するはずだった平面幾何の内容が高校の範囲になって、それまでは必修ではなかった平面幾何が必修になった。
「作図をさせる｣というのは教科書などにはないのだけれど、作図なしの平面幾何なんて(それでなくても証明でみんな大変なのに)どこか違うじゃないかという気がするけれど、現実問題としては作図をさせる時間などはほとんどない。

が、何とか1時間ひねり出してＣｏｓは作図をやらせる事にしている。
「コンパスをもってくること」と言ってあるのだが、どうしても忘れる生徒もいる。
(コンパスをこっちで用意するとちゃんと作図できない理由をコンパスのせいにするので、こちらでは用意しない事にしている)

以前はあちこちからかき集めて、10個ぐらいはコンパスを用意していて忘れた生徒に貸していたのだが、最近はそれをやめて三角形にきったわら半紙を折らせる事にしている。

紙を折らせるようにしてからは全員が熱心に取り組むようになった。
手を動かす授業は好きな生徒が多いから相談しながらわいわいとやっている。
コンパスを忘れた生徒は(たとえコンパスを貸しても)やる気の少ない生徒が多かったのに、紙を折らせるようにしたらそれなりに熱心に「ああでもない、こうでもない」と忘れたもの同士が相談しながら折っているのだ。

しかも出来上がった紙を重ねると一人一人がそれぞれに考えて折ったはずなのにぴったり折れ線が合わさって重ねたまま綺麗に折曲がる。
一枚でも違う紙があるとその紙が邪魔をして重ねたまま折ることができない。
(コンパスや定規の使い方の勉強にはならないけれど)これはこれでおもしろい。

コーネル大学式ノート

ノートの作り方というのはなかなか難しい。Ｃｏｓが授業をするときや問題を解くときに使うのはノート右端を５cmぐらい区切っておいて、本文とは別に注意事項やポイントなどを書いて置くようにしているのだが、このコーネル大学式ノートというのも使いやすそうだ。

これは時々こっそりのぞいている大学教員のトホホな日常? - コーネル大学式ノート作成法.で紹介されていたもので、本人ではなくて学生にノートを作らせるのにと考えていらっしゃるようだ。

生徒に紹介するのもいいけれど、Ｃｏｓの場合にはまず使ってみないといいかどうかわからないし、数学の授業のノート、数学の問題集のノート、問題演習のノートでは全部作り方が違っているんじゃないかという気もするから、とりあえず使ってみようかなぁ･･･

ということでコーネル大学式ノートからリンクをたどって、Cornell Method PDF Generatorで作ってみた。

本来はLetterサイズなのだが、Ｃｏｓが使うのは他のノートと大きさを合わせてB5に縮小して使ってみる事にした。
今までとそんなに変わらない気もするけど、どんなもんだろう？

楽しい数学がいいな

　どんな学習をやっているのかを考えればごく当たり前の結果なのに、それを取り立てて問題に刷るのもどうかと思わないでもないのだが･･･
米国の数学教育に警鐘、「楽しさ」と成績は別物と � - USA.

この研究は、世界各国の小学４年生と中学２年生を対象に算数・数学の問題と好き嫌いなどの質問への回答を求めた０３年の調査に基づいて、米シンクタンク、ブルッキングズ研究所のブラウン教育政策センターが実施した。調査結果を分析したところ、特に中２のレベルで、意外な傾向が明らかになったという。

「数学は楽しい」と答えた生徒の率が高かった上位１０カ国は、いずれも成績が平均以下。逆に下位１０カ国は、全て優秀な成績を出していた。また、数学を日常生活の場面に結び付けて教えようとしている国ほど、成績が悪いことも分かった。生徒が「数学は楽しくない」と答えながら、テストで好成績を示した国の例としては、日本、香港、オランダが挙げられる。一方、米国は「楽しさ」、成績ともほぼ中位だった。シンガポールで「数学に全く自信がない」と答えた生徒のグループと、米国で「数学に非常に自信がある」と答えたグループを比較すると、シンガポールのグループの方が得点が高いなど、生徒の自信と成績が一致していないことを示すデータも得られたという。

アメリカの数学のカリキュラムがいいのかどうかはべつとして、知識という点から見ると「数学が楽しい｣という国は考え方を身に着けることを主眼においているから、テクニックや教え込みでない学習をしている。
日本の高校生に比べたら、アメリカの高校生の数学の学習内容のレベルは比較にならないほど低い。そのレベルの低さがテストをすると直接的な点数になってあらわれるから、点数としても低い点数になるのはどう考えても仕方がない。

だが、必ずしもそれが問題かどうかはよくわからない。
数学的な知識よりも数学的なものの考え方を身に着けているのかどうか、物事の論理構造を館がられるかどうかという事になると必ず似も日本より劣るかどうかはかなりの疑問。
アメリカのカリキュラムについて詳しいわけじゃないからあくまで憶測でしかないのでなんともいえない部分もあるけれど、よく言われるように日本と違って大学に入ってからのアメリカの学生の勉強はとても大変だし、それをこなしていくだけの数学的な思考力は身に着けているのだからそれでいいんじゃないかという気もする。

先生が教えてくれたり教科書に書いてあることを身に着けるのではなく、自らが学ぶという意味において・・・

数学を仕事に生かしたい

数学を志したときには、だれしもが数学を生かせる仕事につきたいと願っているのだと思うけれど、現実はそんなに甘くない。
数学を生かせる仕事といわれて思いつくのはいったいなんだろう?
研究者＝大学の教員かＣｏｓのように学校で数学を教えるかする以外にどんな道があるのか･･･

それをはっきりと物語っているのが、この調査。数学五輪の出場者、数学研究者になったのは１割以下.

　中学・高校生が数学の実力を競う日本数学オリンピックの出場者のうち、数学の研究者になった人は１割以下であることが文部科学省科学技術政策研究所のアンケートでわかった。

　９０～０５年に参加し、予選を通過した１４～３２歳の１０６３人を対象に調査した。２９６人（回収率２８％）が回答を寄せた。

　現在、高校生以下の回答者がめざす職業は、数学系研究者が２９．６％でトップ。ところが、すでに社会人になっている人がついている職業を問うと、数学系研究者は６．６％しかいなかった。

　最も多いのは民間企業や役所などの事務職で２２．０％、次いで医師２０．９％、情報処理技術者が１１．０％。「現在の職業は数学の知識を生かせる」と考える人は、半分以下の４７．８％だった。

まあ、最初から１／３の人しか数学系の研究者になりたいとは思っていないのだから仕方がないのだろうけれど、そのうちの２割が初志を貫徹したという事になる。それが普通の人であれば十分に高いのだけど、ここでの調査対象は数学の才能があるとされている人たち。
そうした頭脳は数学以外の分野で発揮されていって数学にはそんなには残っていない・・・・日本の数学。

鶴亀算

昨日の確率の授業でちょっと「鶴亀算」という言葉に触れたら生徒から、
「それなんですか？」という質問が出た。

「忘れた?」
「いやしらない」
・・・
びっくりしてみんなに尋ねてみると大多数が「知らない」というのだ。

まぁ、確かに教科書にはでてないかもしれないけれど、どこでも習ってこなかったというのはかなりびっくり。
（授業が遅れているので）時間がないにもかかわらず説明した。

鶴の絵と亀の絵を描いたら・・・・
「だちょうだ」

・・・・Ｃｏｓの場合には鶴亀算じゃなくて、ダチョウかめ算だった･･･

授業の準備

相変わらずパワーポイントもワードも苦手。
普段はTeXでプリントを作っているけれど、図の張り込みは絶対にワードのほうがらくだからついこっちに走っちゃうんだけど、やっぱりTeXで処理をしたほうがいいかなぁ・・・

パワーポイントは2回目だから文章中にどうやって式を入れてアニメーションさせるかは大体わかったけれど、そのためには身近に文章をいくつも埋め込んでグループ化しなくてはならないので、位置をそろえるのが大変。

しかもその位置も自由じゃなくて、ある程度決まったところにしか動かないから数式と文章がそろわない・・・

まぁ、取り合えず明日の分ができたからよしとしよう。

授業の進度

先日他の高校に勤めた人と話していてちょっとびっくり。

長期休暇中に教科書の問題を予習させておいて、授業ではその答えあわせをひたすらやるのだという。
教科書を予習させるのは悪いとは思わないし、教科書の問題の答え合わせも悪いとは思わないけれど、毎時間
「今日はここからここまで｣と一日ごとの進度が一律に決められているというのだ。

予習ができちゃうのだとしたらそれはそれでうらやましいし、教科書の問題の解説ぐらいだったら楽なもんだ。
(入試問題によっては楽じゃないのもあるからそれはそれでまた別だけど･･･)

ところが毎時間ごとにやる内容が決められていると、そこから逸脱したことをやることができないのだという。

ということはＣｏｓみたいに「ビジュアル数学」なんていいながら喜んでグラフを動かして見せるとか、ちょっとむずかしめの入試問題を紹介するとか、関連している教科書には出ていないような話題とかに触れることができないのだ。

つまらないだろうなぁ・・・生徒も先生も・・・

Ｃｏｓのところなんかだと
「中間までにここまで｣
「期末までにここまで｣なんていう進度は一応決められているけれど、直前になって間に合わない人がいれば、他から授業をもらったり試験範囲を狭めたりする。

それがいいかどうかはべつとして、教科書の内容の比重を変えることが可能だから(Ｃｏｓなんかは問題以外)ほとんど教科書を使わずにいろいろな話をしながら授業をすることが出来る。

Ｃｏｓの職場でも、「誰がやっても均質な授業を｣と考えている上司がいたりするから、いずれはこんな方向に進むのかもしれない。

だが、Ｃｏｓのところですら教科書を読んで、自分で理解できるのは1割ちょっとぐらいしかいない。
教科書の予習を宿題にしても、やってこれる生徒はそんなにいないのだ。
その学校と比べても遜色ない偏差値のはずなのだが、偏差値では計り得ない生徒の質の違いかもしれない。

しかも、できない生徒に対するフォローの体制はないのだという・・・・びっくり。

リスーピアの数学

「理数の魅力、体感ミュージアム｣という謳い文句で8月5日にオープンしたリスーピアにやっと行って来た。

メインターゲットが小中学生ということだったけれど、Ｃｏｓが行っても面白かった。

実際に一番面白がるのは小学生高学年ぐらいなのかもしれないけれど、高校生にも見てもらいたい気がする。

このリスーピアには無料ゾーン(クエストゾーン)と有料ゾーン(ディスカバリーゾーン500円)があって、実のところ無料ゾーンだけでもかなり面白い。

どこから落としても必ずボールが跳ね返って一転を通ってから落ちていくとか、

回転双曲面を構成する一本の直線(ここでは線分)が双曲線の形にあけられた穴を順番に通っていくとか、

ボールが転がって落ちて行くとき直線、放物線、サイクロイドのどれが一番早いかの実験(これはよくある)

などが無料ゾーンにある。

有料ゾーンのほうがかえってシアターを見るとか、解説を見るとかといったものが多く、実際にやってみることができるのは巨大タングラムと素数ホッケー(名前は違ったかも)さいころの実験ぐらいで、「実験する、やってみる｣という点からは無料ゾーンのほうがずっと面白かった。

ただし、「見るだけ｣「聞くだけ｣のコーナーでもそれなりの面白さがあったものが多い。(もちろんくだらないのもあってちょっとがっかりしたのだが･･･)

ただ、ひとつだけフィボナッチ数列のところで
１＋１＝２
左の1が見えなくなってイコールがプラスに変わって
　　１＋２＝３
左の１が見えなくなってイコールがプラスに変わって
　　　　２＋３＝５
と続いていくのだが、このイコールをプラスに帰るのは問題があると思う。
それでなくても

１+２=３＋４＝７＋５＝１２＋６＝・・・
なんていう計算を平気でやる生徒が必ずいるのに・・・これはちょっと困る。

４００坪という狭いスペースだけれど、実際の内容は結構濃いような気がする。
何しろ一つ一つの展示に時間がかかる。混んでいる時はお勧めできないし、じっくり時間をかけざるを得ない作りになっている展示が多いのだ。

数学ではないけれど、音の分野では勝手に出てくる音と自分の出す音(手の高さで調整できる)を聞きながら波形を見る展示が面白かった。
うまくすると三角関数の話なのだが・・・つかえるかなぁ？

ただ、このスペースの狭さと日本科学未来館からいくらも離れていないということを考えると同じ金額ということは割高感はぬぐえない。

まあ、パナソニックセンター自体が面白いからそれでいいのかもしれないけれど。
今度行くときにはパナソニックセンターもじっくり見てこよう。
ニンテンドーゲームフロントもあるし・・・
∥xx;∥☆＼(--メ)

食塩水の濃度

高校の数学の教科書で扱うような範囲ではないのだが、食塩水の濃度の問題になると出来がすごく悪い。
濃度をちゃんと理解していないと解けないような問題ではあるのかもしれないけれど、手を出そうともしない生徒が大半を占めるのだ。

2次関数の導入部分の
「ｙをｘの式で表せ｣というタイプの問題で
一度目は
「１０％食塩水５００ｇに水ｘｇを加えたらｙ％の食塩水になった」というもの。
まあ、これは当初からみんなができるとは予想していなかったし、予想通り正解者は各クラス1割以下だった。
で、今週
「５％の食塩水２００ｇに１０％の食塩水ｘｇを加えたらｙ％の食塩水になった｣を出題したのだが、これの正答率がそんなに上がっていなかった。

あちこちで話をうかがってみると、どうもこの「濃度」自体がわかっていないらしい・・・と言うことはＣｏｓがどこかで解説をしなくては生徒たちはわからないままで終わってしまう。

Ｃｏｓは他の人よりも授業の進度が遅いので時間の余裕はないのに、ますますこれで遅れてしまう事になるけれど、やらないとなぁ・・・

Visual数学・・・

　今回授業で放物線の平行移動をGRAPESを使ってやったのだが、やっている結果は教科書と同じなのだが、やり方がまったく教科書とは反対。

教科書や今までのやり方は方程式を考えてそのグラフをかくのだが、Ｃｏｓがやった授業はとりあえず放物線を平行移動しておいてからその方程式を考える。

普通だったらグラフを平行移動する大変さ(それも任意のグラフについて平行移動を考えようとするとすごく大変)、どんな値(実際には限られた値しかとれないのだが、そうは見えない・・・それはそれで問題がありそうだが)でも平行移動してみることなどはほとんど不可能なのだが、GRAPESを使うことでごく自然な形で平行移動を見ることが出来る。

こういう教え方が可能なのはGRAPESのようなソフトが存在するからこそで、この「実際に動かしてみる｣ことがこれからの数学教育を変えていくのだろう。

初めてもパワポ

世間的にはパワーポイントを使えないほうがおかしいのだろうけれど、実は今までその必要性を感じなかったので授業で使ったことはなかった。

というか、論文の発表とか、写真を見せるだけといった感じの使い方しか見たことがなかったのだ。

　夏休みにGRAPESの友田先生の発表がパワーポイントを使って、その中でGRAPESを立ち上げて話をしているのを見て、今までのようにスライドを見せるようにするためだけではない使い方が出来る事に気がついて使ってみたのだ。

　こうする事によってGRAPESをひとつだけ立ち上げるのではなく、必要な部分部分で必要な内容だけを表示して見せることができるので、無理にあれこれ詰め込んだり、使うところだけを見せようとして悪戦苦闘したりしなくて済んだ。

実際に授業をやってみて、すごく手際よくさくさくと進むし、見せたいものを見せることができて、見ている生徒たちにも自然な流れに見えた・・・のではないかと思う。

ただ、Ｃｏｓはごく基本的な使い方は知っていたけれど、パワーポイントを使うのが初めてで、どうやって作ればいいのか悪戦苦闘・・・

そのおかげで風邪を引いたのか、風邪を引いていたからよけい大変だったのかはわからないけれど、授業が終わったら風邪もよくなってきた。

パワポ･･･まだまだ使い方がさっぱりわからない。
時間のあるときに調べようと今は思っているけれど、きっとまた次の授業で使おうとするまでは忘れているんだろうなぁ・・・

風邪＋α

風邪をひいてしまった。
昨日からのどが痛くてだるくてへろへろ状態。

学期が始まるととりあえずのどに来るのは毎度のことなんだけど、それだけではなくて体中がだるいところを見るとたぶん風邪。

昨日はおとなしくしていたので、今朝はだいぶいいんだけど、ちょっとまだのどが痛いかな。

しかも、今日は普段の授業と違ってパソコンを使ってのプレゼンテーションの授業。

「生徒にやらせる｣なら緊張しないし準備も楽なのに、「生徒にやって見せる｣授業の準備ってどうしてこんなに大変なんだろう。 しかも、ちゃんとできるかどうか心配だし。
そういえば、他の先生に「こんな授業やります｣と声をかけたのが緊張の元かもしれない。人にいわずにこっそりやれば楽なのだが、言っておかないと「あの先生だけ違うことをやっている｣と非難されかねない。
(パソコンを使って授業のできる教員が少なすぎ)

夏にGRAPESの話を聞いてきて、パワーポイントを使ってのプレゼンがすごくよかったので負けずに、パワポを使ってやろうという意気込みはよかったんのだが、どうやって数式を表示すればいいのかわからない上に、数式を入れたアニメーションを作りたいのにうまくいかなくて悪戦苦闘。
グラフの中にリンクをはってGRAPESを立ち上げるのはうまく行ったのになぁ・・・

内容は毎年やっているから作るのは難しくないんだけど・・・

理解力を伸ばしたい

算数や数学の中で一番簡単に伸ばせるものは計算力。
単に練習するだけで、パターンに分けて練習するだけでかなり成績が伸びる。

でもそれはその場限りのものだし、それと同時に理解力が伸びなければ遅かれ早かれ行き詰る。
計算が得意になってどんなに早く計算ができても、たとえば、

の分子と分母を別々に計算したのでは時間もかかるし計算ミスも多くなる。普通だったら見ただけで約分してから計算すると思うのだが、約分せずに分子と分母を別々に計算する生徒が最初は少なくない。

クチをすっぱくして何ヶ月も「まず約分｣といい続けてやっとほとんどの生徒がまず約分してから計算するようになるのだが、これも理解せずに闇雲に計算するだけというひとつの表れだろう。

こんなことは高校で教えなくてもちょっと考えればわかりそうなものだが、実際にはわかっていないのだ。

小学生９千人調査 課題は「計算理解力」�-�教育.

　単純計算よりも理解力に難点――。文部科学省所管の財団法人「総合初等教育研究所」が全国の小学生約９０００人を対象に実施した計算力調査で、単純に数式を解く計算技能よりも、計算技能を支える「理解力」に課題があることがわかった。理解力を試す問題では、正答率が３～６割と低いものもあった。単純な計算技能については、９８年の調査結果とほぼ同じ水準だった。

　同研究所が１日、発表した。この結果について、同研究所は、学力低下への懸念から、この数年、計算技能を伸ばす指導に力点が置かれたためとみている。

　調査は、小学校３６校の１～６年生を対象に昨年３月実施。どの学年にも、計算の意味や演算の決定などの理解力をみる文章題と、計算技能をみる数式問題の計約３０問を出した。

　調査結果によると、計算技能については、どの学年も大半の問題で正答率が７割以上となった。これに対し、理解力については、設問のうち２割が正答率６割以下だった。

（特定の課題に関する調査（国語，算数・数学）とは違う内容のようだが、もとの発表記事はどこにあるかわからなかった。）

計算技能や決まりきった問題を解くだけなら、パターン学習が一番早く効果が得られる。その代わり、理解する事なしのパターン学習だけでは理解力は実際にはついていないから、遅かれ早かれ行き詰まる。

それがわかっていても、なかなか理解力をつけるための授業というのはやりにくい。
同じ時間をかけるなら問題の解き方を教えるパターン学習のほうが短時間で効果がでるし、そういう教え方をしているクラスのほうが今は成績がいい。
しかも、何年も続けて同じクラスだったり同じ教員だったりすることはまずないから、何年もたってから教え方の差が出ても誰にもわからない。

保護者からはパターン学習をさせている教員のクラスのほうが成績がいいし、本質的な部分がわかっているかどうかは表面にはなかなかでてこないから、本質的な部分をじっくりやろうとする教員の評判が悪くなる。
「あの先生の授業のほうがわかりやすい(答えを出しやすい)し、成績もいい｣のだから仕方がないといえば仕方がないのだが、子どもたちは伸びない・・・・

伸ばそうと思うと保護者からの評判が落ちるのを覚悟しないといけないのだが・・・それが許される時代でもないしなぁ・・

100万ドルを見る目つき

真理の前には金銭など何の価値もないといわんばかりの数学者に与えられるフィールズ賞を辞退したペレルマン。
その潔さはうらやましい限りだし、凡人のＣｏｓなんかは「せっかくくれるっていってるのに・・・数学の世界ではトップの賞なのに断るなんて･･･」と思うのだが、そう思うのは数学関係者だけではなさそうだ。

フィールズ賞辞退の数学者ジョークが大流行 ロシア.

　ロシアで、世紀の難問といわれた数学の「ポアンカレ予想」を解決に導きながら、フィールズ賞を辞退した自国の数学者グレゴリー・ペレルマン氏（４０）をめぐるジョークが大流行している。旧ソ連の指導者らがなってきたジョークの対象に数学者が登場するのは初めてという。

　大衆紙コムソモリスカヤ・プラウダによると、多いのは、米国クレイ数学研究所から「予想」の解決者に出る賞金１００万ドル（約１億１６００万円）の授賞が決まったわけではないのに、これも辞退したかのように先取りしたものだ。たとえば「ペレルマンが１００万ドルを見るような目つきだぞ」――。その心は「断った１００万ドルのように嫌そうに見ている」だ。

　まったく現実味のないことは「ペレルマンに１００万ドルをやると提案するようなものだ」。「ペレルマンにとっての１００万ドルと同じくらい、彼は私に必要ない」という言い方もある。

当のペレルマンはどう感じているんだろう。やっぱりうんざりしてますます人嫌いになってるのかなぁ
こんな風にジョークねたにされたら、クレイ研究所から賞金が出たとしても本当に受け取らないかもしれないなぁ

お金がないのはＣｏｓも一緒だが、やっぱり彼はかっこいいなぁ

確かに数学者は変わり者

フィールズ賞を断ったペレルマン氏は、いかにも数学者らしい偏屈なおじさんのようだ。だけど、業績合戦がいやだという彼の気持ちも判る気がする。

ペレルマン氏「自分の証明正しければ賞不要」.

　スペイン主要紙エルパイスは２２日、米誌ニューヨーカーがペレルマン氏に行ったインタビュー内容を報じた。その中で同氏はフィールズ賞を断った理由を「自分の証明が正しければ賞は必要ない」と説明。現在の数学界や、有名になって注目される境遇に嫌気がさした気持ちを吐露した。

(中略)

　同氏は現在無職で、サンクトペテルブルクの郊外で母親と生活。わずかな貯金と元数学教師の母親の年金だけが生活の糧で、「（授賞式が開かれる）マドリードに行く費用もない」という。

が、数学・・・というよりも数学者の世界に幻滅して、無職で生きていくというのはすさまじい生き方だ。まあ、数学しかできない人間は数学を離れると出来る仕事も少ないのかもしれないし、学歴が邪魔をしてやらせてもらえる仕事も少ない・・・ということがあるのかもしれないが、どこかうらやましく感じるのはＣｏｓだけだろうか？

仕事がいやだとかといったことでなく、その潔さがうらやましいのだ・・・

あなぁ～のあいた立方体

前にJavaScriptを使って紙芝居にしたものをFlashにしてみた。
紙芝居もFlashを使うと簡単にできてしまうのがうれしい。
約5kBのgifファイルを18枚使っているのにできたものは46kB・・・
どうして軽くなるのかすごくふしぎ

この穴の開いた立方体を切断すると、とてもふしぎな図形が出てくる。
外から見ただけでその断面が予想で切るかどうかはかなり疑問。何度見ても面白くてしょうがない自分がいたりする∥^O^∥

未来を開く数学教育とは

数教協の花巻大会で二人の数学者　野崎昭弘氏と秋山仁氏の対談から。

秋山仁氏はやっぱり話がうまいなぁというのが一番の感想かもしれない。

メモをとって置けばよかったんだけど、なんとなくとり損ねてしまったので、印象に残ったことだけ。

「教え方には2通りあって、
ひとつは教室で授業をやるような教え方。
もうひとつはプログラム学習のようにドリル形式の教え方。」
秋山仁氏は最初の教え方のほうがいいと思う。
(メモを取っていなかったので、これ以上書くと自分の主観か秋山氏の意見かはっきりしなくなりそうなので、この程度にとどめておく・・・以下同様)

「数学をやっていて良かったこと
考える力、分析力がつく。
数学のよさ
数学の定理というのは多数決でも覆すことのできない真理。社会がどう変わろうと、世界がどう変わったとしても変わることのない普遍。数学とは何者にも覆されない審理を追い求める学問である。」

「数学の学習が苦痛でしかなく、人々に劣等感を持たせるものであれば必ず衰退する。学問の基本は好奇心、それが学びの原動力になる。
世界の学力調査でアジアとスカンジナビアの国々の成績が良かったけれど、数学が好きかどうかを尋ねると対照的な結果がでてくる。
アジアの国々は確かに計算力はあるけれど、好きではないのに対して、スカンジナビアの国々では子どもたちが数学が好き。」

「花巻で宮沢賢治は『生徒たちに目的をきちんと伝え、五感を総動員して理解して、授業は感動につながらなくてはならない』と賢治の仕事---小学館---で書いている。」

「賢治は3つほめてひとつ叱る、私で言えば3つほめて二つ叱る。あなたはどうですか？」

あくまでこんな感じの話だったというＣｏｓの印象でしかないから事実と違う部分もあるかもしれないけれど、Ｃｏｓはこんな風な話だったと受け取った。

同じものを含む順列

われながらちょっと無謀だと思ったのだが、はじめたばかりのFlashを使ってコンテンツを作り、授業で使ってみる事にした。
ここ数日かなり遅くまでやっていて、できたのは昨夜。

教科書の同じものを含む順列をもうちょっと簡単にしたもの。
教室でやることが前提なので、字を大きくしてみたら・・・・パワーポイントで作ったのと変わらないような電子紙芝居ができてしまった∥^O^∥

続きを読む "同じものを含む順列"

個数の処理 組み分け

高校1年の数学Ａ　個数の処理　組合せでなかなか分かりにくい問題のＦｌａｓｈを作ってみた。
授業で使うためのものだから、このままではちょっと分かりにくいと思うけれど･･･

6人を3組に分けるとき次のような方法は何通りあるか。

(1)2人ずつＡ，Ｂ，Ｃの3組に分ける

(2)2人ずつ3組に分ける

組み分けの問題

四国を塗る（その２）

とむさんに手伝っていただいて(正しくはちゃんと動くようにしていただいて）もうちょっとましなものができた。「0610001.swf」

ここから円順列を作るのが本来の目標なのだが・・・・∥^O^∥

作ってみた

久しぶりに手を出したFLASH。
とりあえず、思うようなものを作ることができたのでちょっとうれしい。

が、まだActionScriptは使えないし、前途多難ではあるけれど、とりあえずできたからよしとしよう。

ただし、このアニメーションは実際には数学の授業では使えない。AとBがこんな風に動いて重なっていくわけじゃないが、こんなものを作ってみたかったのだ。

実際のFLASHは「続きを読む｣からどうぞ。(ちょっと重いのだ)

続きを読む "作ってみた"

今日の授業から

友達に教わったKaprekar数・・・
生徒たちはそれなりに面白かったみたい。
試験直前だって言うのにこんなことをやっていていいのかと思うけど･･･
その準備・・・何もないように思っていたけれど思いのほか時間をとってしまったのが痛い∥;_;∥

授業では
「同じ数字が4つ並んでいるのではない4桁の数を考えます（たとえば4989）。
そこに使われている4つの数字を使ってできる最大の数（たとえば9984）から最小の数(4899)を引きます。
出てきた4桁(5085)（千の位が0のときも含めて）に使われている4つの数字を使ってできる最大の数(8550)から最小の数(0558)を引きます(7992)。
これを8回繰り返しましょう」とやった。

生徒たちも結構面白かったみたいだ。

今年の入試問題

東大文系の今年の入試で

　　　

を満たす正の実数は存在しないことを示せ。

というのがあったけれど、これはしばらく前に生徒に説明したような気がする問題だったりする。残念ながらその生徒は卒業しちゃったので、自慢できないけど∥^O^∥

３角比の実習

「カクシリキ｣を使って３角比の実習をした。

カクシリキというのは角度を測る道具で、同じようなものは以前から知っていたけれど、同僚が沖縄の数教今日の大会で教わってきたフロッピーケースとストローを使って作るもの。
この新しいスタイルのカクシリキを作るのはＣｏｓも初めて。

内側に両面テープで角度の紙を貼って、ケースの上にのぞくためのストローをつけ、5円玉をおもりにして角度を測るのだ。

1時間かけて説明と製作、2時間目に実習をしたのだが、あいにくの雨。
ビルの最上階の窓の高さを調べるという課題を出したのだが････

当初は

こんな感じで2箇所からの角度とこの2箇所の距離を出させるはずだったのだが、雨のために近づくことができず、結局・・・

3箇所から仰角を測りこの3箇所の距離を測って求めるというかなり面倒な問題になってしまった・・・∥^O^∥

かといって、晴れた日を使ってもう一時間使ってやるほどの時間の余裕はないしなぁ･･･

数学者御用達

数学にかかわりを持っている人のマフラーはこれにきまり。

いぎりすせいかつ:メビウスの輪で紹介されていたMoebius Scarfなのだが、これはどう見てもマフラーかネックウォーマーにしか見えない。メビウスの輪がスカーフ(マフラー)になるなんて考えてもみなかったのだが・・・

半分ひねって端と端を合わせて(普通のメビウスの輪の作り方と一緒)編んであるから端はひとつしかない。

こうやって見ると半分だけねじれているメビウスの輪になっていることがよくわかるだろうか。この半分ねじれているところが身体につけるとすっきりと収まる。

こんな感じかな。

職場でこれを見せたら・・・・
「縦に切り目を入れて二つに切ろうとしてもひとつになることを確かめてみよう」といわれてしまった･･･

博士の愛した数式

映画じゃなくて本。映画化を記念して（？）文庫になっていたのでやっとかって読んだ。

本を読んだ限りでは映画を見たいとは特に思わないけれど、いろいろなことに思いをはせた一冊。

博士がルートに話す初頭整数論(とは言わないのかな)のあれこれ。
この整数の持つ美しさにあこがれて数学科に入ってきた友達が何人もいる。実際に大学でやっていたのはあんなにきれいなことじゃないんだけど・・・・

自然数や整数が除法について閉じてないからあんなにいろんなことが起こる。
(ここで言う「閉じていない」というのは割り算の結果が自然数や整数になるとは限らないという意味)

閉じているというのもすごいことだけど閉じていないからこその面白さというものがあるんだなぁ・・・と改めて思った。

しかも博士の思考は80分という閉じた世界にいる・・・(意味は違ってるけど)

閉じていることと閉じていないこと・・・面白い。

博士の愛した数式
	小川 洋子 新潮社 2005-11-26 売り上げランキング : Amazonで詳しく見る by G-Tools

同じなのに・・・

このところちょっと立体を作って遊んでいたのだけれど、

と　

この二つを見て共通点が分かるだろうか？

実はこの二つはまったく同じ形をしていて、同じ方向に回転しているのだ。
違っているのは色の塗り方と、アニメーションのコマ数だけ。

それなのに、Ｃｏｓの目には左側は回転じゃなくてうろうろしているだけのようにも、回転しているようにも見える。

もともとは

こんなのを作ったら、見ているうちにどっちに回転しているのかわからなくなってしまったのが不思議で、「どう動いているのか分からない立体を･･･｣と思って左側を作ったんだけど予想以上に動きが見えなくてびっくり。

サッカーボール以外は9コマでできたアニメーション、サッカーボールは14コマまでできたアニメーションです。
一こまあたりの回転角で決まるような木もするけれど･･･目の錯覚というのは不思議。

どっち向き?

こんなのを作ってみたんだけど、これはいったいどっち向きに回転しているんだろう？

試してみよう

高校1年生はいま平面幾何をはじめている。
平面幾何は実感として何をしているのか分からないうちに証明、証明・・・
その実感のなさを少しでも解消できないかとこんなページを作り始めている。

数学A　平面幾何　試してみよう

科学おもちゃ展

ヨーロッパの科学おもちゃ展が東京のパルテノン多摩で10月8日から10月16日まで開催されます。

スイス･ドイツ発　科学のおもちゃ展

ポスター（チラシはなかった）の中にあるおもちゃのなかにはＣｏｓが持っていたり、学校にあったりするものもある。
この写真がＣｏｓの持っているもの。これも良く見るとポスターの中にはちゃんとあった。
（webページではよくわからないのだが･･･）

　

どこかで見たようなのもあって中身はたいしたことはないのかもしれないけれど、
入場料も100円という安さ。

それでもワークショップやおもちゃ売り場もあって、内容はたいしたことがなさそうだけど、面白そう。

パルテノン多摩はこちらから

グラフの平行移動

このあいだ、2年ぶりぐらいにコンピュータ教室でグラフの平行移動の授業をやったけれど、ネットワークの調子があまりに悪くて、一時はどうしようか状態だったりした・・・

だいたいOSがWin98だし、マシン自体もかなり古い・・性能がかなり低いからどうにもならないのかもしれないが･･･

高１はこれから２次関数に入るので、その最初の平行移動
一番最初にのグラフを軸方向に2，軸方向に1だけ平行移動したグラフを見せた。

このときに赤いほうの平行移動した後のグラフはどのような方程式になっているのかを考える野が目的であることを離した上で、いくつかの場合について実際にやってもらうことにしたのだが・・・・
何しろファイルの送信からしてうまくいかない・・・最初からインストールしておけばよかったのだけど・・・といっても50台を一台ずつインストールするのはかなり面倒だし・・・

とりあえず、フロッピーも何枚か用意しておいたので、それを使ってインストールしてこんなことを実際にやってもらった。

　　　　

これと同じ内容をJAVAかFLASHで作れればいいのだが・・・

シュールな曲面

5次方程式y^2+z^2=0.5x^5+0.5x^4をＰｏｖＲａｙでかかせてみた。
マッピングしてみたらこんなシュールな絵になった。

同じデザインだけどもっとおとなしいマッピングをするとこんな感じ。

ピンクの豚さん

これは、学校で見つけたピンクの豚さん。四つ(ちょっと三つにも見えるけど、実際に見えているのは四つ）のピンクの豚さんのうちひとつだけが実像で他の三つは虚像。

こんな風に手を近づけてみるとわかりやすいかもしれないけれど、上のほうに乗っているのは実像ではない。

これはホウブツ面を二枚合わせた鏡でできていて、中心部である焦点ににおいた豚さんの像はその放物面で反射してしたの面とは反対側の位置に像を結ぶのだ。

それがわかっていてもあまりにリアルに見えるので、指を伸ばしてみてもさわれないことに気がつくとなんだかショック

webページで数式を。

やっと、懸案だった比較的簡単に数式が書けるページがつくれた。

数学のページの中につくったＣｏｓｍａｔｈ２のなかのＢ－Ｗｉｋｉ。

こんな感じ。
ちょっと書いてみたところ

メニューの「授業から｣をクリックすると一番下に数式を書いた記事もある。

画面の右側のB-Wiki最新記事ブロックの中のＳａｎｄＢｏｘは登録メンバーなら自由に使えるようにしてあるので、試してみたい方はどうぞ。

登録メンバーになるにはメールアドレスの登録が必要です。

等比数列の和

等比数列の和の公式のところで、高1でやっていた循環小数を分数に直す計算を紹介。

最初は｢循環小数｣が何のことだか忘れている生徒も多かったけれど、話をしているうちに思い出したらしく 「10倍してずらすことで、よくわからない点々で書いてある部分をなくしてわかりやすい形にするんだったよねえ」 といってから、 「循環小数は10倍したり100倍したりして考えたけれど、等比数列では同じことをｒ倍して考える｣ と話したら、かつてないほどすっきりわかったようだった。

等差数列の和ではGauss少年、等比数列の和は循環小数。次は何を使おうか?

難しい?

高校1年生が入学してからほぼ一月。

去年は高1を持っていなかったので、時として生徒の反応がとても新鮮に見えることがある。

連休明けに、生徒たちにとってははじめての「問題集のノートの提出｣があったのだが、解いてみての感想が
｢難しい｣だった。
まぁ、やさしい問題集ではないからそんなものだろうと思っていたのだが、そういった当の生徒のノートを見てびっくりした。

確かに解けてない問題はある、
だがそれはほんのわずかであってほとんどの問題は自力で解いているのだ。
つまり、彼(ないし彼女)にとっては解けないものが一題でもあれば難しいということになる。

さらに今日、生徒から
「授業が難しい｣といわれてしまった。
ところがこれもよくきいてみると教科書にでてこないような発展的な内容が難しいということなのだ。
教えているＣｏｓとしては「わからないだろうなぁ、誰か一人でもわかればいいんだけどなぁ｣などと思いながら教えているような内容だから、
「わからない」といわれても
「そうだろうなぁ」としか思えなかったりする。

で、改めて彼ら(彼女ら)は中学まではすべて習ったことがわかる授業しか受けてこなかったんだなぁと納得してしまった。

だから問題が解けないと「難しい｣
だし、自分にはあっさりと理解できない内容だと｢授業が難しい｣
になるんだろうな。

中学教科書で格差？

来年度の中学教科書の検定結果が公表された。今までのものに比べて「発展的記述｣が増えたのだそうだ。

中学教科書の検定結果公表、「発展的記述」が初登場

　学習指導要領の範囲を超えた「発展的記述」が中学では初めて登場。４年前の前回検定で削減された「イオン」（理科）や元素の「周期表」（同）、「不等式」（数学）などが相次いで復活した。子どもたちの学力低下に配慮し、基礎学力の定着を重視する傾向も強まっており、幅広い学力層に対応した教科書づくりが進んだ。

3年前、今の教科書に変わって最初の高校1年生を教えたのだが、そのときに
「えっ、不等式やってないの？｣と驚いたものだった。
この生徒たちは高2、高3と教えることになったのだが、やはり不等式が弱い。
高校の授業では定着に時間をかけないからというのもあるだろうし、絶対的な問題量が少ないままにどんどん先に進むことも一因だろう。

おそらく、こうして「発展的記述｣として取り上げられれば、多くの学校や塾で不等式の扱いは学んでくることになる。
Ｃｏｓのところではそのことを前提として授業が組まれるから、間違いなく「発展的記述｣を学ばなかった生徒には不等式は今まで以上に難しいものに見えてしまうだろう。

現在でも高校1年で習う平面幾何は生徒によっては高校の教科書にある程度のことは中学で習ってきていたりするし、中学の教科書にしか出ていることしか学んでない生徒もいる。

どちらにあわせるのかといえば、｢学ばないことになっている｣から教科書どおりにやるけれど、その実態はともかくなるべく早く終わらせる単元になってしまっている。

中学で学んできた生徒が退屈をしないように、中学で学ばなかった生徒はとりあえずは理解できるように・・・・

これからは不等式もそうなるのかも。
そんなんじゃまずいんだけど･･･

ＭｕＰａｄ

先月だったか、ちょっと前にジャストシステムのカルキングＪ、数式がかけて、計算が出来て図形集があって、作図が出来るというソフトがでた。

ちょっと惹かれるものを感じたのだが、なんとなく｢ジャストシステム｣と聞くと重そうでどうしようかなぁといろいろ検索して見つけたのがＭｕＰａｄ.もちろん本格的なものは結構いい値段もするのでとても手が出ないけれど、ＬＩＧＨＴ版と言うのがあって、いわゆるアカデミック版みたいな感じで、学生、教職員は無料というおいしいものが出ていたのだ。

何しろＣｏｓは｢無料｣に弱いから、思わず入手することにしたのだが、これがなかなか大変。

なにしろこのＬＩＧＨＴ版は英語のものしかなくて、英語で書かれた購入方法を調べてうんうんいいながらダウンロード(これは簡単だった)して、レジストリキーを手に入れたのだが、このレジストリキーを手に入れるにはＭｕＰａｄのＴＡＮ－Ｓｅｒｖｅｒというところにいって登録をしてから出ないと手に入らないのだ。

英語のページに登録をするのが怖いＣｏｓとしては必死になって文章を読んで、どうやら大丈夫らしい・・・というか回避する方法が見つからなかったので、登録してレジストリキーを手に入れた。

もちろんレジストリキーがなくても30日間は試用期間があるからだいじょうぶなんだけど・・・

というわけで今夜は早速これで遊んでいる。
今のところいろいろな単純な式の計算をやっているだけだけどなかなか前途多難かも。

国語力じゃないと思うが・・

中学や高校の一年間の終わりには学年末試験が待っている。

試験があれば、採点をしなくちゃならなくて、
採点をしたらその答案を生徒に返して成績をつけなきゃならない∥-_-∥
(教えるのは好きだけど、この仕事は嫌いだ・・・)

というわけで生徒に答案を返すのだが、久々にクラス全体を叱ることになりそうだ。

いや、成績が悪いというわけでもないし、生徒たちが勉強をしてこなかったわけでもない(と期待したい)が、彼らは問題をちゃんと読んでいないのだ！！

問題文には「二つのものを求めよ」と書いてあるのにあとのほうしか求めようとしない生徒がなんと多いことか・・・
もちろん問題文を
「・・・・・なんとかをもとめよ。またかんとかをもとめよ」
という形ではなく
「（１）なんとかをもとめよ。
（２）かんとかを求めよ。」
とすればそういう生徒がいなくなるのはわかっているが、そうすることで、ますます生徒は問題を詠まなくなるのだ。

もちろん突然このタイプの問題を出したわけではなく、(さすがに数値は違うけど)同じ問題を何回か課題で出題しているから、ちゃんとやっていれば書き落とすことはないはずなのに、普段はちゃんとやる生徒でも見落としていたりするのだ。

「なんとか」がわかっていなければ「かんとか」も解けないはずなので、「なんとか」を落とした生徒は問題を読まなかったために何点かを失っていることになる。

入試でも文章をしっかり読まなかったために解ける問題を落とすことも少なくない。
というわけで来年度は｢文章をしっかり読む｣習慣をつけさせないといけないなぁ・・・・

来年度、｢文章はしっかり読む｣｢答えが出たら、もう一度問題を読んで、題意にあっているかどうか確認する｣ことにも注意しないといけないなぁ

記号の語源

試験の採点をしている合間にいろいろなところで使われている記号の語源はなんだろう？
という話になった。

関数のはもちろん英語の関数ｆｕｎｃｔｉｏｎの頭文字だし、直線はｌｉｎｅの頭文字。

変数はなぞであるものを×と書いたからだろうということで一致を見た(正しいかどうか、これはちょっと疑問)

定数に使うはアルファベットの最初から順に使っているのだろうし原点のOは数字の０から出ているのだろう。

で、理由をこじつけられなかったのがとおいたりするときに使うｍとｎ。
比に分けるときにもｍ：ｎとおいて書くけれど、これはいったいどこから出てきたんだろう？

はドイツ語で定数ｋｏｎｓｔａｎｔかな？

度と度

図形の問題で途中の式に角度を表す「°」のマーク（９０°など）をつけなければいけないかどうかが話題になった。

単なる計算であれば必要がない、
答えには必要である
というのはみんなの一致を見たのだが、途中式でつけなければいけないかどうかは「なくていい」という意見もあってそれに反対する人もいた。

（書いてないと注意するけれど減点をしないというのが結論）

この話の中で
「同じ度でも角度はたせるけれど、温度は足せないよなぁ」

確かに３０度と６０度をたすことが出来るのは角度だけ。
温度は３０度から６０度増えて９０度になることはあっても温度がたされるのではなく、６０度上昇するためのエネルギーが加えられているので温度自体をたしているわけじゃない。

角度なら３０度を１２個集めることは意味があるけれど
温度なら３０度を１２個集めることってなんだろう？

同じ呼び方を使う°と℃・・・・本質的にはまったく違うものなのになんだか面白い。
（本来は温度の度は℃とか華氏の°Fとかって書くべきだけど、同じ「度」と読むことが多いのであえて正しくは書かなかった）

分数の出来ない中学生

先日、Ｃｏｓのところでも入学試験があった。

いわゆる｢すべりどめ｣で受験してくる生徒たちは普段見慣れている生徒たちから比べると優秀な生徒が多い。(公立の学校を失敗すると来るわけだが、ほとんどは公立に進学してしまうのだ∥^_^∥)

数学の試験の中には計算問題もある。

　　を計算せよ

といったタイプの問題で

　　

という答えがちらほら見えるのだ。

それも出来の悪い答案ではなく、他の難しい問題はきちんと解けていて、中には満点に近いような答案もあるのにこんな答えを書いているのだ。
式の計算と方程式がごっちゃになっているのだろうと思うけれど、式の意味を考えずに計算だけをしているということだろうか。

授業で教えていて「えっ？」と思うような生徒が分数で間違ったりするけれどこういうことをやっているのかもしれない・・・・

こんど高校生にも｢必ず分数計算｣が入っているような問題をやらせたほうがいいのかもしれないなぁ

携帯用空間座標その後

　昨日と今日、2クラスで前回の 携帯用座標を使っての授業をやった。

生徒たちには｢宿題｣として

　　

の3枚に切込みを入れて組み立てをしておくようにプリントと10cm角の工作用紙を渡した。

思った以上にたくさんの生徒たちが作ってきていて、どちらのクラスも持っていなかったのは2，3人。
どっちでもそのうち1人は「やぶれてこわれちゃった」ので、作ろうとしなかったのは実質1，2人ということになる。

普段の宿題と比較すると圧倒的によくやってきている。

これに待ち針をさして点を表すのだが、みんな熱心にやっていた(これも珍しいかも∥xx;∥☆＼(--メ)

この空間座標を持たせるようになってから、空間の位置関係の把握がすんなり出来るようになったように思う。
点から下ろした垂線の位置や、どこが直角になるのかといった、黒板や教科書の図ではよくわからない部分を実際に見ることが出来るので理解しやすいのだろう。

携帯用座標

エドワードさんに教えていただいた携帯用の空間座標。

空間ベクトルの授業になるたびに重宝している。
授業時間を使って作る余裕はないので、10cm四方に切った工作用紙を3枚配って、
｢次の授業までに作ってこい。必要がないと思う人は作らなくてもいいけど、配った紙は返してくれ。」
といったのだが、誰も返してはこなかった。

｢見本｣を作ろうと職員室で、工作のうまそうな先生に声をかけたら、すっかり楽しんで作ってくれた＼∥^O^∥／

紙を切るのはいいけれど、組むのがちょっと難しいので、工作用紙が破れるんじゃないかと心配しながら・・・

明日は生徒たちにこれを見せよう。

さいころ

数学の確率の問題ではさいころがでてくるとふつうは
｢目の出方は同様に確からしいものとする｣ということになっている。
つまりどの目の出方もひとしくということになっているのだ。

たまに｢さいどた」などといって立方体ではなく、直方体のさいころなどもでてくるけれど、見ただけで等確率ではないことがわかるからそれはそれで納得できる。

が、かつてはこんなさいころだったのだ

このさいころを見て、｢目の出方は同様に確からしい｣といわれてもちょっと信じられない・・・・
こういうさいころを使っていた時代には確率の計算も当てにはならないような気がしてくる。

算盤

この写真は科学博物館で撮ってきた算盤。以前にも実物を見たり簡単な足し算や引き算をやっているところを見たことがあるのだが、たかが足し算や引き算にこんなものがなぜ必要なのかとても疑問だった。

よく考えてみればわかりそうなものだったのだが、当時の日本には数式を表す方法がなかったのだ。そろばんはあったから、足したり引いたりかけたり割ったりは出来ただろうけれど、今のような形の数式はなかった。

書き表すことが出来ないとなると、確かに一次方程式ですら、結構難しいかもしれない。

先日の入試の採点をしていたらと書かれた答案があった。(もちろん実際にはこの答えではないけれどこんな感じの答え)

こんな分数だってあってもいいんじゃないかと思いながらかつて数式がなかった時代があったことをふと思い出してしまったのだ。

今日作ったもの

余計な線が入ってしまってちょっと気に入らないのだが････

「ガラスで作った正四面体OABCのABの中点をMとしたとき、
三角形OMCはどのような三角形になるかを考えよう」
を見せるためにＰＯＶ－ＲＡＹでこんなものを作ってみた。

画像をクリックすると新しいウインドウでアニメーションが開きます。

累乗根

自分のためのメモ。絶対に忘れたくないので････

試験前の問題解説の時間の中で、
「はミルフィーユ

はバームクーヘン
だ～」
と教えてくれた生徒がいた。
この感性を大切にしたい。

基本問題

ここ何年か、生徒たちの計算力が著しく落ちている。
決して頭が悪いわけではないし、理解力がないわけでもないのに計算ができない。

しかも学校で使っている問題集には応用問題は豊富だけど、基本的な計算練習がほとんどない。
他の問題集ならあるかと思ってみたけれど、どの問題集を見ても（量の少ない）基本的な問題集か、応用問題の多い問題集しか見当たらなかった。

というわけでしかたなしに基本問題を作ってプリントして配ってやらせているのだが、毎日のように作るのは結構大変。
他のところではどうしているんだろう？

今までのを集めて問題集にならないかとも思ったけど、作るときと作らないときのむらがあってだめだった∥^O^∥
ちょっと残念

いわれちゃった

数学の授業はひとつの単元の中でやさしいものから次第に難しいものへと難易度が上がってくるようにできている。

「きらいだ」といいながらも一生懸命やっている生徒が
章末まで来て、
｢先生、難しすぎ。こんなのやると数学いやになっちゃうよ」

｢それは困ったなぁ････
でももうちょっとすると新しいところに入るから、
またやさしくなるしゆっくり進むから大丈夫だよ｣
と慰めたけれど、
｢今は嫌いじゃないわけね｣とちょっとうれしかった。

川は流れる

先日、生徒たちにいわゆる流水算がらみの問題を出した。

「川に沿って船で往復すると6時間かかる川の流れが毎時kmとするとき、静水時の船の速さを求めよ」

といった問題なのだが、
「きっと解ける生徒は少ないだろう」という予想以上に解ける生徒が少なかった。
誰も解けなかった････∥-_-∥
もっと正確に言うと誰一人として式さえも立てられなかったのだ。

式を立てている生徒もほぼ全員
船の速さを毎時kmとすると
　　　2点間の距離
としてしまっているのだ。

かれらは「くだり」しか考えられないのかなぁ

曲がる定規

　８月のはじめに九段の科学技術会館での「科学の祭典」でみた「曲がる定規」が欲しくて、あちこちの文房具屋さんを見て歩いていたのだが、なかなか手に入れることができなかった。

が、昨日食料品も文房具も扱っている薬屋さん「○ンドラッグ」へ行ったら「再生PET１００％定規」として曲がる定規が売られていた。
今のところ授業での使い道があるかどうか疑問なので、一本だけ買った。

残念ながらそこには風船は売っていなかったので、今日１００円ショップで風船を買ってこんなことをした。

分度器を当ててみて感動＼∥^O^∥／

ラビレット

CosMath | ラビレットに書いたことだけれど

8月2日に東京九段の科学技術会館で見てきた｢青少年のための科学の祭典｣の展示にこの「ラ・ビレット」があった。

となるパズルで、3個の立方体をばらばらにしてうまく組み合わせると大きな1つの立方体になるというものだ。

ちょうどピタゴラスの三角形の立体版といったところだろうか。

パズルとしてもとても面白くて、Ｃｏｓの前に小学生がかなり時間をかけてがんばってやっていた。
最後にはブースのお兄さんにヒントをもらって作り上げることができて＼∥^O^∥／

続いてＣｏｓもやってみたのだが、かなり難しい。
でも、面子にかけてもできないとまずい・・・という状況下で必死になって何とかどちらも作ることができてちょっとほっとした。
このラビレットを作ってみたいと思うのだが、一体どんな授業で使えばいいのか悩み中。

科学の祭典

　東京九段の科学技術館で科学の祭典全国大会　Youngster's Science Festivalが７月29日から8月3日までの予定で開催される。

子供向けのものがほとんどだが、この中にはいろいろなねたも落ちているはず。出展内容を見てみると｢数学｣の範疇に入りそうなものも結構ありそうだ。

・・・・こんでないといいなぁ

時間が足りない・・・

去年、教科書が変わって今年の高1と高2は新しい教科書で勉強をしている。

教科書は1時間当たり2ページをこなさないと一冊終わらないのだが、どうにもそのペースが守れずに悪戦苦闘している。

生徒にわかるように話そうとするとついつい時間がかかってしまう上に、わかりやすいところはハイスピードで飛ばすから、生徒からは「進むのが早い」と・・・・
それでも「教科書が終わらないと困るから」といいながらせっせとノルマを消化するんだけど
なんか絶対に違う・・・

数学の授業から 複利法

文系の生徒に複利法の公式を教えても、その意味はなかなか理解することができない。(理系だからできるわけではないが、理系だと｢覚えなくちゃ｣という意識が働くという違いがあるだけ)

そこで、ちょっと違う方向から複利法や等比数列に関心を持たせることを考えた。

最初は
「10万円借りて、利息が10%だったら、1年後にはいくらになるか｣からスタート。
1年後には11万円。
「そのままもう一年借りるといくらになるか｣という質問から単利法と複利法の話をちょっとして、複利法の考え方を理解させる。

そこでいよいよ今日のメインテーマ

「神津さんと増田さんが飲み物を買おうとして自動販売機のところに行ったら、神津さんは細かいお金が10円足りなかったので、増田さんから10円を借ることにしました。
増田さんは『じゃあ、10分1割の利息をとってもいい？』といわれたのでけちだなぁと思いながらもどうせ教室に帰ったらすぐ返すから10分以内に返せるので『いいよ』と返事をしました。

ところが、教室に戻ったら次の授業のチャイムが鳴ってしまい、しかも昼休みには部活のミーティングがあったりしたもので、増田さんに10円借りたことをすっかり忘れてしまいました。」

「というわけで24時間たったらいくらになっているでしょうか？」

まず最初は生徒に予想させる
(ア) 300円ぐらい
(イ) 500円ぐらい
(ウ) 1500円ぐらい

「こんなに安いのか？もう一声！！｣とあおってみるのだが

(エ) 5000円ぐらい

どうがんばってみても1万円以上は出てこない。

仕方がないので、電卓を配って計算させる。
電卓でもなかなか計算が難しい（いずれ常用対数を教えるときの布石でもある）

出てきた結果を見てみんな唖然∥^O^∥

最後に「といち」の話をして、必ずしも非現実的ではないことに注意を喚起して今日の授業はおしまい

（この記事はCosMathに書いたものと同じものです）

うふふ

一学期最初の数学の試験．
Cosが教えているクラスでの試験監督．

今回は内容もやさしいところだし，この後難しい内容になって理解が難しいということもあって，試験がどちらかというと簡単な内容になっている．

試験が始まるとみんなせっせと答案用紙を埋めていく．

チャイムが鳴って試験が終わると何人かの生徒の顔がほころんでいる．
｢できた?｣と声をかけると満面の笑みで「まぁまぁ」と。
なんとなくこっちまでうれしくなるが･･･

答案を返すときや期末試験が怖い∥-_-∥

江戸時代の数学ゲーム

Cosが関心のあることの一つに剰余に関するものがある．いろいろな数で割った余りについて考えようというものだ．今朝の新聞に

江戸っ子は役者浮世絵で数遊び　歌川国安の目付け絵発見 - asahi.com : 文化芸能

　江戸っ子は数学を応用した浮世絵で遊んでいた――。江戸後期の浮世絵師、歌川国安（１７９４～１８３２）が描いた「新板役者目附絵」が、国際浮世絵学会常任理事の新藤茂氏（５６）により、発見された。市川団十郎や尾上菊五郎ら当時の人気歌舞伎役者の顔が円形に並ぶ浮世絵で、このタイプでは最古という。湯屋や床屋などで、庶民がちょっとした数字の手品のように、遊んでいたことがわかった。

　この目付け絵は、浮世絵の「おもちゃ絵」の一つで都内の美術商で見つかった。役者の顔が並ぶ絵と、数字の並ぶ数字盤とがセットで、数字盤を役者絵の上に置き回転させて使う。

　当てる人は盤を見ず、相手に盤を回して適当に止め、好きな役者を決めてもらう。その役者を１人目とし、役者を指す盤の数の分だけ時計回りに進ませ、たどりついた役者名を当てて遊ぶ。

　実は、相手がどの役者を選んでも、たどりつくのは、必ず１７が指す役者になるという数のトリックがある。１６分割した数字盤には反時計回りに「１７、１８……１５、３２」とランダムに数が並ぶように見える。が、各数を１６で割った余りに置き換えると、「１、２……１５、０」と単純な数の列になっているからだ。

web版ではなく、新聞には写真も出ていたのだが･･･こういうゲームは整数論の導入としてなかなかおもしろいのだが･･･

帯分数の表示

高校ではあまり帯分数を使うことはない．ほとんどが，仮分数の形で表しているからだ．
普通は帯分数で表された分数を見たときにはの意味だと考える．

数学の授業ででもなければ，仮分数で表すことは少ないのかもしれない．

　ところが，この式を数字ではなく文字にした途端に意味が変わってしまう．

　の意味になってしまうのだ・・・・(普通はこういう書き方をせずにまたはの形で表すけれど・・・

欲しい本は?

　ちょっと調子に乗って，Amazonのジャンル別のベストセラーの窓を左側につけた．右の下側にとも思ったけれど，左右のバランスが悪くなりそうなので，左につけたのだが，読み込みは遅くならないかなぁ?

　ここにでてくる本は「数学一般」のベストセラー(といってもそんなに売れているはずはないのだが)だから，Ｃｏｓ自身がみていてもおもしろかったりする．もちろん気に入らない本もあったりするけれど・・・・

　が，一番困ったのはみていたらここにでている本が欲しくなったことだ・・・

異端の数ゼロ―数学・物理学が恐れるもっとも危険な概念
	チャールズ サイフェ, Charles Seife, 林 大 発売日　2003/10 売り上げランキング　2,699 おすすめ平均 ゼロと無限大の伝記。 数学・物理の基本をやさしく解説 Amazonで詳しく見る

なんかおもしろそう・・・欲しいなぁ

でも，2415円もするなんて，とても買えそうもない・・・Amazonアソシエイトで稼げれば別だが･･･

パワー･オブ･テン

タイトルは，やっと最近手に入った，日経サイエンス社の「パワーズ・オブ・テン」を眺めていて・・・

人間が身をもって認識できる大きさの範囲は思いのほか小さい．

理論的には宇宙の大きさ･･･m（約100億光年）からm(クォークの大きさ？)までが存在していることを知っている．

(このクォークの大きさについては「Powers of Ten」という1977年の映画を元にして，作られた本が「パワーズ・オブ・テン」だから，いいかげんだ)

だが，実際に実感として理解できる長さはどれぐらいだろうか？

大きい方はかなりばらつきがありそうだが，10km つまりmぐらいだろうか？

そして，小さい方は特別な人を除いて,0.1mmつまりmだろう．

だから，人間はmからmの間で暮らしていることになる．指数(10の何乗か)で言えば，-4から4までの間というごく狭い範囲に限られているのだ．

そういうことを考えながら，このMandelbrot集合での自己相似(大きさが違う同じ形が同じ図形の中に現れていること)というのはとても広いレンジでの自己相似なのだと改めて感心してしまった．

というわけで，これはgifアニメで作ったMandelbrot集合の一部．一こまがそれぞれ2倍になっている．同じ形がくり返されているのが分かるだろうか？

ここには50コマあるから，，つまりおよそのスケールの世界が展開されているのだ．

このスケールでの自己相似というのは実はすごいことなのだ．

Mandelbrot集合の描画はマンデルブロ集合計算・描画プログラム v3.1を利用して作製しました．

進級できない生徒

3学期の終わりになると、赤点がつく生徒が何人か出てくる．
ほとんどの場合には本人がサボっているからで、少しでも努力していれば、そうそう簡単に留年はしないのだが、中には必ずしも「努力不足」とは言い切れない生徒がいたりする。

本人はそれなりに努力をしていないわけではないが、授業のレベルについてこれない生徒というのが存在するのだ。

たとえば、高校から入ってきた生徒では、推薦で入ってきたけれど、中学のレベルと高校のレベルがあまりに違いすぎてどうにもならなくなってしまった生徒．
付属の中学のときから「高校ではついていけないかもしれない」といわれたにもかかわらず、無理に入ってきてしまった生徒．

どちらもサボっているわけではないので、かわいそうな気がする．何がかわいそうといって、成績が取れないことよりも、本人なりに努力しているのに、その努力がほとんど実を結んでいないことが一番かわいそうかもしれない．
正直に言って、「無理してこの学校に来なければよかったのに．もっと違う学校だったら十分にやっていけるのに」と思うこともしばしばだ．

3月のこの時期、毎年のように高校1年生を見ていてそんな風に思うのだが・・・・

だが・・・

それでも何とか2年になっていった生徒は2年から3年になるときには（勉強の努力を続けていればだが）進級が問題になることはまずない．
それなりの成績をとって、それなりの大学にも入っていく．

それを考えると、今年危ない高1の生徒も来年は大丈夫かもしれないとちょっと期待したくなってくる．

生徒禁

当の生徒たちに見られるのはちょっと･･･まずいが・・・∥^O^∥

手元に生徒たちの答案があって，日曜日だというのにちょっとずつ採点をしている．仕事の中でも採点や成績処理は嫌いだから，自分をだましだましちょっとずつやっていて，合間合間にnetを覗いていたりする（逆，合間合間に採点しているのかも・・・鬱）

とあるクラスの答案に手を伸ばして，「さてとこれもやるか･･」とばかりにぱらぱらとめくったら，どの答案にも字がいっぱい書いてあるではないか・・・

あっているかどうかは別として，ほぼ95%の生徒が答案のほとんどを埋めているのだ･･･あせったあせった･･･

普通は数学のテストというと，あちこちにほとんど白紙に部分があったり，所々しか手を出していない答案がちらほらとあったりして，答案をぱらぱらとめくってみると白い部分がかなりあるはずなのだが････

これは･･･全部が正解ということはありえないので，1題ずつ全部見ていかなければならない･･･

書いてくれるのはとってもうれしいし，努力してくれているのはすごくうれしい････でも･･･生徒には内緒だが････

さぁてっと、がんばるか∥-_-∥

割合分数

高校1年生の最初の授業で，よくやるのがこの問題．

高校の数学で何をどう学ぶかという話からはじめて，

「2つのかごがある。一つの籠には赤いりんごが1個あおいりんごが1個入っていて，もう一つの籠には赤いりんごが1個，あおいりんごが2個入っている．

最初の籠の赤いりんごは後の籠の赤いりんごは

全体としては赤いりんごが2個，青いりんごが3個あるのだから赤いりんごはである．

つまり，が成り立つ．

この間違いをＣｏｓに納得できるように説明してください．」

文章自体がおかしいのもわざとなのだが，なかなかこれを納得できるように説明できる生徒は少ない．誰もいなかったりすると，

「じゃあ，このクラスではが正しいということでいいですか?」とか
「小学校で習わなかったの?小学校でちゃんと勉強してこなかったのか?（相手は高1の生徒）」

何年も前にはどこが違うのかを説明できる生徒自体がすごく少なかったけれど，計算だけでなく考え方を重視すべきだという方針になってから(ゆとりの教育が始まって基礎学力が落ち始めたころから)違いを指摘できる生徒が増えた．

ただし，Ｃｏｓを説得できるのはクラスに一人か二人・・・下手をすると一人もいなかったりするのは厄介だが･･･∥^O^∥

そして、こうやって相手を数学的に説得すること・・・証明という・・・について勉強することが高校の数学の一つの目的であることを話して1時間を終える．

今年もやってみようかなぁ?

(mimeTeXがインストールできてうれしくて，思わず早起きして記事を書いてしまった∥^O^∥

mimetex1のインストール

ありがとう！！
これでやっと数式が自由に扱える環境になった．

komatさんのおかげで･･･やっとmimeTeXがインストールができたのでblogであろうがHPであろうが数式をきれいに使うことができます．

komatさんのpinponpanpon: mimetex導入で教えていただいたとおりにmimeTeX quickstartにアクセスして，(c)quickbuildの下の方にあるlinux用のファイル(これがあることに前は気がつかなかったし，気がついたとしてもたぶん意味が分からなかったと思う．)をダウンロードした．

Ｃｏｓが使っているのはWindowsだけれど，サーバはLinuxなので，そちらに合わせたファイルをダウンロードするのだ．(たとえ気がついていても，この段階で間違ったファイルをダウンロードするに違いない)

ダウンロードしたらファイル名をmimetex.cgiに変更してバイナリモードでサーバにアップして、パーミッションを755にするだけ．
最初自動判定でアップしたら，うまく画像が表示できなかったので，改めてもう一度バイナリモードを指定してアップした．

やってみるとあっさりと簡単にできてしまった．

でも，すごく疲れた・・・∥^Ｏ^∥

もう一度，ありがとう！！手伝ってくださったみなさまm∥_ _∥m
本当に助かりました．これで数学がかけます

MimeTexを使いたい・・・

数学で数式を使うことの多いＣｏｓはhtmlの文章の中でも数式を入れたい．
一時期はwordで作った数式をwordからwebページにして使っていたこともあるけれど，これだと一つ一つの数式の位置が変になってしまったり，文字のかたちが普段Ｃｏｓの使っているTeXの文字とはかなり違っていることなどがあって，ほとんど使わなくなってしまった．

ここで，ココログを初めてから，MimiTeXというcgiの存在を知ってぜひ使いたいと思ったけれど，直接利用すると「自分のところにcgiをインストールしなさい」といわれていまう．

一つ一つを画像にして自分のところに保存して使えばきれいに出るけれど，その手間はかなり大変だし，数式が一つ二つなら何とかなっても，実際の数学のページを書くとなるとそんなものではとてもたりそうもない．

webスペースはあるので，できるものならぜひインストールしたいのだが，一体どうやってインストールすればいいのか分からない．

どうもUNIXとかCとかが必要らしいのだが，どちらも持ってないＣｏｓとしては一体どうしたらいいのか現在困惑中・・・∥-_-∥

Note: all files in mimetex.zip use Unix line termination, i.e., linefeeds (without carriage returns) signal line endings. Conversion for Windows, Macs, VMS, etc, can usually be accomplished with unzip's -a option, i.e., unzip -a mimetex.zip

Now, to produce an executable that emits anti-aliased gif images
(which is how the "official" www.forkosh.com/mimetex.html page
is displayed), compile mimetex with the command
cc -DAA mimetex.c gifsave.c -lm -o mimetex.cgi

・・・・-a optionをつけてunzipするのってどうするんだろう?
・・・・最後のcommandって？

欲しいものがそこにあるのに，手が出ないのはすごく残念だ･･･
何かいい方法はないだろうか?・・・

平常点

もうすぐ学年末試験．試験勉強もさることながら生徒たちは提出物などが点数化される｢平常点｣が気になってならない．

提出物が出ていないとそれに応じて平常点が少なくなるわけなのだが，試験直前になると，｢これをやらなかったら何点減点ですか？」という質問が増えてくる．

減点幅が小さかったらやらずに済まそうというのだ．

Ｃｏｓ自身が学生だったときもそうだったし，生徒たちがそう考えるのも不思議はないのだが，「これをやらなければ何点減点で、あれをやらなければ何点減点」だからやる(あるいはやらない)という発想はどこかおかしい．

今の得点だけで成績をつけてしまうやり方である以上仕方がないことではあるけれど，よく考えてみると，「提出物」というのは提出してあたりまえのもので，点数になるから出すとか出さないとかというのは変ではないだろうか？

この「出すのがあたりまえ」という発想から，一つでも未提出のものがあれば，平常点がつかないというシステムがある場合もある．（この場合には提出率は非常に高いし，平常点の割合が高ければ，平常点が0だと成績がかなり低くなる場合もある．

「出させる」という方針であれば，それはそれでいいと思うのだが，これも点数になるから出すとか出さないとかという点では変わりがない．

ではなくせばいいのかというと，それも難しい．何しろこの平常点で救われる生徒というのは勉強はまるっきりできないけれど，まじめで一生懸命やるタイプの生徒．
こういう生徒は平常点がなければテストだけでは危ないから，切り捨てたくないし･･･

しかも、かつては先生が何も言わなくても試験前になると勉強をしたものだが，今の生徒は「提出」といわないと勉強しなくなってきている．

自発的に勉強することができなくなっているのだ．こちらから指示をして強制しないと勉強をしない．(そうでない生徒もいないわけではないが・・・）

ほぉっておくとどんどん勉強しない生徒が多くなってきて，進学にも差し支える．もちろん個人個人が大学に入れないこと自体は本人が悪いのだから，かまわないはずなのだが現実には私立としてはともかく大学に入れることが最優先．なんとしてでも勉強をさせて大学に入れなくてはならないのだ．

保護者と学校の双方が大学に入ることをを目的としている以上仕方がないのだろうけれど，どこか釈然としないまま，せっせと平常点をつけているσ∥-_-∥

タングル（おもちゃ？）

これはtangleというおもちゃ.

タングル　ジュニア　ニューディーエヌエー

片手にすっぽり入るジュニアサイズのタングル。クリア・蓄光・蛍光のカラフルなパーツが、らせん・イボイボ・しましま・デコボコなどさまざまなテクスチャーになって連結。ピースによっては、暗闇やブラックライトの下で光るので、自分なりのデザインを考えて遊んでみても面 白いかも。二重らせん構造のモデルとしても最適です。

この色といい，かたちといい，授業で使うのにうってつけだと思ったのだ．
全部で23個のピースからできているので，23個からなる円順列やじゅず順列を考えることができる．
しかも，色が8色，しかも模様（でこぼこ）で区別できるものとできないものがあるのでそれらを区別したときと区別しないときの違いからいろいろな種類の順列を考えることができる．

まぁ、次に個数の処理をやるのは来年度の一学期の終わりか2学期ぐらいだから，そのときまでに使い方を考えておけばいいのだが，

「DNAの二重らせん構造のモデル･･･？！」そのときまでにそれも生徒に説明できるようにしておかないと･･･∥^O^∥

一番大きな数

こすもす: １０００を数える?を書いていて思い出したこと.

日本の数記法は本来4桁区切り．

100000000000を書くときにかつては
1000,0000,0000　という書き方をして,これで千億と読んできた．
だから，戦前の古いそろばんなどを見ると4桁ごとにマークがついていたりしたのだが，現在ではそろばんも3桁区切りになっている．(と思う･･･)

｢1000を数える｣を書いていて思ったのが，日本人は10000という単位を区切りとして使ってきたということは一万という数までは理解できる数の範疇に入っていたのかもしれないということだ．

しかも，この4桁区切りのおかげで数の大きさを考えるときに日本人はかなり得(？)をしている．

　一　　　　　　　　　10^0
　十　　　　　　　　　10^1
　百　　　　　　　　　10^2
　千　　　　　　　　　10^3
　万　　　　　　　　　10^4
　億　　　　　　　　　10^8
　兆　　　　　　　　　10^12
　京(けい)　　　　　　10^16
　垓(がい)　　　　　　10^20
　じょ　　　　　　　　10^24
　穣(じょう)　　　　　10^28
　溝(こう)　　　　　　10^32
　澗(かん)　　　　　　10^36
　正(せい)　　　　　　10^40
　載(さい)　　　　　　10^44
　極(きょく)　　　　　10^48
　恒河沙(ごうがしゃ)　10^52
　阿僧祗(あそうぎ)　　10^56
　那由他(なゆた)　　　10^60
　不可思議　　　　　　10^64
　無量大数　　　　　　10^68

までが日本語の中にある数詞．(ただし，大きい方は1627年吉田光由が書いた｢塵劫記｣にたいする解釈の相違によって8桁ごとに繰り上がるとするものもあって多少違う解釈もあるらしい )

これに対して英語の最大の数は

　decillon(デシリオン)　10^60(英　米では10^33)

ギリシャ語の接頭詞は

　デカ　　　　deca　　　　　 10^1
　ヘクト　　　hecto　　　　　10^2
　キロ　　　　kilo　　　　 　10^3
　ミリア　　　myria　　　　　10^4
　ヘクトキロ　hecto-kilo　 　10^5
　メガ　　　　mega　　　　 　10^6
　ギガ　　　　giga　　　　 　10^9
　テラ　　　　tera　　　　 　10^12

だそうだ。(すべて共立出版数学小事典より)

これを見た限りでは日本が一番大きい数を考えているが，これは記数法が4桁区切りだから一番大きくなっただけなのだ∥^O^∥

(実際には英語にせよギリシャ語にせよもっとあるのかもしれないが･･･)

それにしても10^68・・・１のあとに0が68個ある数字なんて，とても理解できそうもない∥^O^∥

１０００を数える?

１０００を数えたことはあるだろうか?

100を10回とか、50を20回数えたことならＣｏｓも何度もあるし、カウンタを見ながらとか何か道具を使いながらなら、確かに数えたことはある。

だけど、何もないところで単純にただ数えるだけ，
「１，２，３、・・・１０３，１０４、・・・３５６、・・・」という風に順に数えたことはないような気がする。

まして、１０００個のものを、（100個ずつとかに分けずに）数えたことはない。

そういう意味では1000という数字を感覚としては理解できていない。

牛乳の1リットルパックの中にはスポイドで１ｃｃずつ測って1000回分入っていることは知っていても、実際に１リットルを１ｃｃずつ測ったことはない。

１ｍは１ｍｍが1000個分と知っていても、実際に数えたことはない。

そういえば、子供のころ「眠れないときに羊を数えると寝られる」という話を聞いて、実行してみたことがあったけれど、途中で「次はどんな羊にしようか?」などと他のほうに頭が行ってしまって、どこまで数えたかいつも分からなくなっていた。

子供の数感覚について、あれこれと考えていたらそんなことをふと考え始めてしまった。
1000円を一円玉で数えるとどれぐらいあるか知っている人は多くないだろう。重さとして1kgあれば1000円のはずだが、確かめてみた人も少なそうな気がする。

普段から、1000という数字はとてもよく使っているけれど、その実、感覚としては理解していないのかもしれない････

文系の頭

本来文系だから理系だからといって頭の構造自体が違うわけではないし、文系だからといって数学的な論理力を必要としないわけでもないといわれ続けている。

Ｃｏｓ自身もそう信じ続けてきているけれど、たまに「もしかしたら違うのかもしれない」という頭脳に出会うこともある。数年前にその違いを思い知らされるような生徒がいた。

決して数学的な能力は高くないけれど、成績もどちらかといえばかなりいいほうだったし、授業態度も熱心だっただけではなく、試験の前になると「学校で使うことになっている問題集は全部やってしまったから、他の問題をください」といってやってくるほどの熱心さだった。

ほかの問題集の問題をやっても、実際には普段使っている問題集とそんなに中身は変わらないから、違う問題をたくさんやったからできるようになるというわけではないし、それよりは難しい問題の考え方を理解したほうがいいといった話を本人にしたところ、とんでもない返事が返ってきた。

「自分は数学の授業も問題の解き方も何一つ理解していない。だけど、一度見た問題は覚えているので、そういう問題なら必ず解けるから、なるべくたくさんの問題をやっておいたほうがいいのだ。」というではないか。

確かに学校の試験は教科書や問題集の問題やそれをちょっとひねったような問題が多く出題される。まるっきり違うような問題は出題しても１題ぐらいのものだ。そして、この生徒は確かにこの１題を毎回のように落としている。

Ｃｏｓから見れば応用力がないと見えていたのだが、どこまで理解できていないのかは確認できなかった（一度見たものは覚えているので確かめようがない、質問をすると授業の内容はきちんと覚えているから理解できてないかどうかも分からない）けれど確かに一度見たものは確実に覚えているのだ。

「この問題はどの本のどのページに書いてあって、こうやって解く」という説明はいつも正確なのだ。

まあ、同じ問題といっても数字ぐらいは変えてあるから、数字を変えても対応できる程度には理解しているはずだが・・・・

かなり親しくなってから、「本当に理解できてないのか?」と尋ねるとなんとも悔しいことに「全然わかってない」・・・なのだそうだ（泣）

しかも、一度見たことは覚えているから、暗記教科はほとんど勉強する必要がない（暗記の苦手なＣｏｓとしては信じられないが･･･）から，数学のように覚えることがたくさんある教科を中心に勉強すればいいんだそうだ．

もちろんＣｏｓとしては数学を暗記教科してもらいたくはないし，公式以外は暗記しなくちゃならないような授業はしていないつもりなのだが。。。

こうした頭の構造を持っている人間がこの世にいて、正直なところＣｏｓなどにはとても太刀打ちできそうもない才能を持っていたりする。

基本的なものの見方がＣｏｓとこの生徒とではかけ離れているのだが、こういう生徒をどう育てるのがいいのか、「理解しろ」というのがいいのかどうか、いまだにＣｏｓには分からない．

ぶつぶつぶろぐ: そろばん敗北

この生徒も小さいときはこんな感じだったかもしれないな。

そろばんの復活？

今教えている学校では「そろばんが得意」という生徒にはお目にかからないけれど，一番最初に教え始めたときには商業が強い学校だったこともあってクラスに「そろばんが得意」という生徒が必ずいた．

確かにそろばんができるからといって数学ができるわけではないけれど，Ｃｏｓが電卓をたたくよりも早く計算してしまうのには羨ましい限りだったことを覚えている．

そのそろばんが復権の兆しを見せているという．
Mainichi INTERACTIVE　そろばん：なぜか復活の兆し　計算力アップの切り札にと

このＩＴ（情報技術）の時代に、久しく忘れ去られていたそろばんがなぜか復活の兆しを見せている。学力低下が叫ばれる中、計算力アップの切り札として学校や幼児教育の現場で注目されているのだ。

今の子どもたちの学力低下の一つの要因として計算力のなさがあることは確かだ．教えている生徒たちを見ても，計算の遅さには目を覆いたくなるものすらある．

授業の中で「計算の工夫」なんていう話題を取り入れたりしているけれど，計算の遅い生徒はそこで詰まってしまうために先へ進めず，置いていかれることになりかねない．何しろ高校生にもなって掛け算がすぐにできなかったりするのだ．

そう思うとそろばんの復活というのはうれしいかもと思っていたら，

小学２、３年で習うのが普通だった教室で、未就学児が急増しているのだ。３１教室を持つ石戸珠算学園（千葉県印西市）は「未就学児は１５７人で３年前の約２倍。３歳から小学１年生が生徒全体の３割を占める。今の親にとってそろばんは計算道具ではなく、幼児教育の教材なのでしょう」という。

というのだ．幼児教育の教材としてのそろばん･･･下手をすると数感覚が養われる前に計算だけができるようになるのだとしたら，それはそれで計算しかできないという恐ろしい結果が待っているような気もする．

アメリカの高校生のレベル

本当はasahi.comのニュースはすぐにリンク切れになってしまうので,余り引用したくないのだが,asahi.com
「米高校生、数学・科学で日本に劣る」ＦＲＢ議長が懸念

「米国の子供たちは高校３年生になるまでに数学と科学の成績が国際的な平均値を下回り、日本やシンガポール、韓国などの生徒がはるかに良い成績を残している」と述べ、高校生の学力低下に懸念を表明した。

いまさらながら何を言うのか・・・というのが正直な感想だ．今は日本よりもずっとシンガポールが学力的には高いし，アメリカはＣｏｓが子どものころから高校生の学力としてはずっと下だったのだ．

ただし，これはあくまで「平均すると」ということだし、あくまで「高校」レベルでの話なのだ．大学へ入ってからの彼らの勉強は日本の受験などの比ではないほど厳しいという．

もちろん，みんながみんなということではなく「勉強をしたい人が行く大学というところでは」ということなのだろうが，日本のように在籍してそこそこやってさえいれば簡単に卒業証書がもらえるというわけではないのだ．

Ｃｏｓは数学だから一応理系だけど，それでもそんなに勉強しない人でも卒業できたし，数学のことなど何も分かってないと思えるような同級生も教職についていった．

本当に勉強していたのはごくわずかだ．そこがアメリカと日本の違うところなのだ．

日本での「大学受験」というハードルも次第に低くなってきていて、高校生がアメリカ並になる日もそう遠くないだろう．

球の体積のために

こんなアニメーションgifを作ってみた．
flashがあったら簡単にできるのかなぁ？

カプリカ数

カプリカ数の説明はあちこちにあるけれど，自分で使うためにここにも書いておこう．

任意の4桁の数(ただし，同じ数4つでないもの)を考える．

たとえば　5963

このときこの4桁の数の数字を並び替えて最大になるものから最小になるものを引く．

この場合は　9653-3569=6084

ここで出てきた数字を並び替えてまた最大になるものから最小になるものを引く

今回は　8640-0468=8172

これを何回か繰り返すと必ず同じ数になる．この数をカプリカ数という．

8721-1278=7443
7443-3447=3996
9963-3699=6264
6642-2466=4176
7641-1467=6174
7641-1467=6174
となり，この6174がカプリカ数

2桁の場合はひとつの数ではなくいくつかの数をくり返す

27-45-09-81-63-27の順に循環

3桁の数のとき495になる．

時間が半端にあるとき，3桁ぐらいからやってみると生徒も乗るが，整数問題として解くわけには行かないし･･

習熟度めぐり報告

習熟度別の授業････最初に断っておくが，決して悪いものではない．ただ，実際に行うには大きな問題点があるのだ．

asahi.com : 教育・入試 : 教育最新ニュースより

　茨城県常陸太田市立誉田小学校の古里敦子先生（４０）は課題別の少人数指導などと並んで試みた。６年の「体積」の単元で、多様な解き方を工夫する〈はりきり〉コース、教師と一緒に考える〈じっくり〉コースの二つに分けるなどした。

　アンケートでは「算数が好き」と答えた子が８割を超えた。古里先生は、苦手な子の親から「子どもがわかって喜んでいる」と言われたという。

を読んでどう感じただろうか？

ここで気をつけなければいけないのは習熟度別だけではなく，少人数指導でもあったことだ．

習熟度別でなくても教える人数が少なければそれだけ生徒の理解度も上がる．極端な例としては家庭教師，あるいは放課後の1:1の補習．どんな生徒であっても，相手に合わせたレベルで教えることが許されれば，それだけで結果がまったく変わってくるのだ．

クラスの人数を減らしただけで，理解度は上がり，算数(数学)が苦手な生徒は減る．

習熟度別が効果があるかどうかを判断するには1人の教員が40人の生徒を相手にするような習熟度別の授業でどうなるかを見なければ分からないのだ．

これはＣｏｓの憶測だが，一人の教員が40人の生徒を相手にする習熟度別よりも一クラスを20人にした一斉授業のほうがより効果的だろう．(実際に試してみたことはないから何ともいえないが，教員であれば，40人より20人の方がどれほど教えやすいかは知っていると思う)

　得意な集団は発展問題プリントの自学自習に、いま一歩の集団は基礎基本を繰り返す学習に傾きがちで、子どもに１軍、２軍という意識が広がり、「教師間の進度合わせが大変だ」とも指摘した。会場からは「苦手な子が集まったグループの指導は困難」「格差が開いた」などの声も出た。

というのが現実ではないかと思う．(ただし，習熟度を入れているところでは教員の加配がありそうな気がするが･･･)

ただ，やみくもに習熟度別が数学を苦手とする生徒たちにとって問題があるとは思わない．習熟度別に問題があるというよりは，この数学を苦手とする生徒たちをどうするのかが問題なのではないかと思っている．

　数学が苦手であっても，勉強しようという意欲があれば，個人のレベルに合った習熟度別は非常に効果の高いものになると思っている．そうした意欲があれば，やってみても分からないような高度な内容ではなく，ちょっと努力すれば一つ一つ理解していける授業が苦手な生徒にとっては大切だし，理解していけることで次第に苦手ではなくなっていく．
そういう意味で成績の決してよくない生徒が「数学は難しいし成績も悪いんだけど好きなんだ」というのはとてもうれしい．(でも，できるようにもなって欲しいんだけどね)

中2 最大公約数

中学生向きの数学のねた　最大公約数

好きな3桁の数字をふたつ考えよう．

ここでは459と146とする．このおのおのを二つ並べてできる6桁の整数を考えよう．
つまり，459459と146146

じゃあ，この二つの最大公約数を求めよう．

最大公約数は1001かその倍数になっているはずだ．

すごくあたりまえだし，どこででもやっていることかもしれないけれど，中学生を教えていないＣｏｓにはちょっとおもしろかった．
特に，2でも，3でも5でも割り切れないのが∥^_^∥

習熟度別

習熟度別授業で下のクラスになった生徒は意欲もなければ能力もないから、ますますできなくなって悪循環にはまり込む．

確かに以前夏期講習で一方的に成績順に分けた時には希望者のみであったはずの夏期講習の一番下のクラスのやる気のなさは目を被うものがあった．正規の授業でないために歯止めなくやらなくなっていくのだ．

だが，演習系の授業ではこのレベルの生徒たちはやはり授業についていけずにやる気をなくしてしまう．

Ｃｏｓが教えているのは数学だから、数学のことしか分からないけれど，教科書ではなく，演習の授業ですべての生徒たちにあった授業というのは現時点ではありえない．

クラスの中でできる生徒は教科書レベルの応用問題はあっさりとクリアしているのに，得意でない生徒たちの中には教科書の基本も理解できてなかったりするのだ．両方同時に理解して満足できるような演習は今のＣｏｓにはできそうもない．

つまり，どっちのレベルの生徒も不満を抱えることになる．こうした不満は習熟度別の授業をすることによって，かなり改善される．

だから、できれば習熟度別の演習の授業をやりたいけれど一番下のクラスも投げ出さずに勉強ができるようにしたい．

ということで今はいろいろな工夫がされている．

一番上のクラスだけ新しく作ってそれ以外のレベルは一つにまとめる応用クラスを作る，基本，標準，応用の3つに分けるけれど，選択は生徒自身が行う，といった方法が考えられる．

この後者の場合の基本クラスがどんな様子かは外から(他の学校や当事者以外の目から)は分かりにくい．

個人的にはこの基本クラスの生徒が意欲を持って勉強するのであれば，ベストな習熟度別になるはずだと思うのだが････なかなか難しいのだろうか？

というより，どんなやり方をするにせよ，もう数学を投げてしまっている生徒にどうやって意欲を持たせるのかが最大の問題なのだが･･･

円周角の定理

今年から高1で習うことになった円周角の定理は去年までは中3の必修．ごく基本的な内容だったからか，今年の高1のうち半分近くの生徒が知っていた．

こうなるとその生徒たちにとっては高校の授業はやさしすぎるし，習ってない生徒には目新しい内容になるので，かなり教えづらい．

中学によってはしっかり教えているところもあれば，教科書で扱ってないからまるっきり教えていないところもある．以前相似比のところでも同じような状況だったけれど，ここでもまた同じ状況になっている．

仕方がないので，基礎のプリントと応用のプリントを作って，教科書をやった後の問題演習は｢余裕のある人は応用まで｣としているが，こういう分野から定期試験を出すのはかわいそうな気がする･･･

分かってない生徒

「自分は馬鹿だから･･･」，「どうせ聞いても分からないから･･･」
という声をＣｏｓのところですらよく聞く．
「入試で入ってきてるんだから，それは違うよ」とは言うものの，総合点で合否を判断するから，数学はほとんど0点といった生徒もそこにはいる．

そういう生徒は「今やっていること」が分かってもその前の段階がまるっきり分かってないから，少しでも応用が入ってくるとさっぱり分からなくなってしまう．

かといって，今の段階では残してできるまでやらせるというシステムはほとんどできてない．（個人的にはこれが必要だと思っているけれど，そういう方針を取れる学年は少ない）

今朝，新聞を見ていたら，算数の「さかのぼり学習」についての記事が出ていた．それを探していたらこんな記事を見つけた．(さかのぼり学習の話はまだ出てなかった)

数学で課題授業／上伊那農高定時制 より

数学の授業で、一人ひとりの生徒が自分で課題を見つけて学ぶ方法を導入した。普通は教師が教室内の生徒全員に同じ事を教えるが、この授業では全員が別々の学習をする。１年後のアンケート調査ではほとんどの生徒が「一斉授業よりよく分かった」と答えた。

自分の力にあった（と自分で思う）内容について個別指導を受けているというかたちの授業だ．

Ｃｏｓのやっている中でこれに似た形といえば，試験前の放課後十数人の生徒だけが残って分からない問題の質問に答えるかたちだろうか．

一人一人の理解力に合わせて説明をしているのだから，「授業よりよくわかった」と生徒たちが言うのもあたりまえだ．普段の授業ではどこを基準にして授業をしても，その基準に当てはまらない生徒にはあっていないのだから．（ただし，Ｃｏｓは習熟度別が必ずしもいいとは思ってないのだが･･･）

　ただ、この方式は、いつでもうまくいくわけではない。翌年、新１年生に同様の試みをすると、「どれが易しくて楽か」で課題を決めたり、他の生徒に引きずられて決めたりしたうえ、自分一人で学ぼうとせず教室がうるさくなった。この学年は一斉授業に戻した。

新一年生はきっとまだ，「学ぶ」ということの意味が分かってないのだろうと思う．定時制に来ている生徒が中学でどういう授業に対する姿勢を持ってきたのかで，彼らの意欲や態度が決まってしまうのだから．

　割り算のできない生徒は小学校からずっと分からないままで何年も算数・数学の授業を受けてきたのだ．

今は理解できてもできなくても，指導要領にかかれている内容を教えることになっているし，高校の授業は普通，中学までに学んだことを前提として授業をすることになっている．(あくまで｢なっている｣だけ)

そして，｢前提となっている｣から，高校の内容を一通り教えようとするとその部分が理解できてない生徒のための時間はどこにもない．

学校によっては指導要領にかかれている内容は終わらなかったり，やらなかったりもしているけれど，生徒が｢大学受験｣するような学校では，そうもいかない。

シンデレラ通信0109

Cinderellaの作図に，｢円の接線｣と｢円外から引いた円の接線｣を加えました．

今日，Ｃｏｓのパソコンで一人の生徒にやらせてみたら，｢おもしろい｣といっていたが，どうなることやら･･･

シンデレラ通信0107

シンデレラを使って冬休み中にいくつかファイルを作っておいて三学期に備えようと思っていたのだが，どうやらこのblogのおかげでほとんどできなかった･･･∥-_-∥

仕方なしにがんばって2つだけ作ったけれど･･･はぁ・・・

「内心と内接円の作図」これはかなり時間がかかった割にはすべての条件を尽くしてないから本当は不十分だけど，もういいことにする∥xx;∥☆＼(--メ）

「円に内接する四角形」これは「どうなりますか」というだけで作図はなし．

この作図の問題を作るというのはかなり時間がかかって面倒だ．

フォトニックフラクタル

今朝の新聞の一面トップにエネルギーの空中採取可能？　電磁波蓄える夢の宝箱開発という記事が出ていた．(一週間程度しか保存されていません)

　立方体は細部の構造と全体の構造が相似形になっているフラクタル構造を持ち、穴は正方形。グループはこの構造をフォトニックフラクタル（フォトニックは「光子の」の意味）と名付けた。

　宮本さんが、使い慣れていた酸化チタン系の微粒子を混ぜたエポキシ樹脂だけで２７ミリ角、約９グラムのものを作り、様々な周波数の電磁波を当てたところ、ＵＨＦよりやや高い周波数８ギガヘルツ（ギガは１０億）の電磁波は反射も透過もしなくなり、中心部の空洞にたまり続けた。照射を止めても、１千万分の１秒間は内部に残っていた。

この研究は信州大と阪大の共同研究によるもので，阪大の宮本研究室のＨＰには詳しい説明がでていた．

この｢フラクタル」というのは拡大，あるいは縮小すると同じ形が出てくる図形，｢自己相似形」であり，自然界の中にはたくさん存在するといわれている．以前，このフラクタルの創始者Mandelbrotさんの講演を聞いたことがあるが，新しい数学の形としてＣｏｓも勉強してみたいことのひとつだ．

この雪だるまのような形の中にまた雪だるまのような形があってまたその中に・・・ 画像をクリックしてみると確かめられます

この講演の中でマンデルブロさんは，｢フラクタルはいろいろな分野での応用が可能だ｣と言っていたけれど，次第に人間によって作られたフラクタルが自然の中のフラクタルとともに生活の中に入ってくるのかもしれない．

・・・カテゴリが｢数学｣というのはちょっと変かな？でもフラクタルは数学なのだ･･･

数1 相加相乗

高校生必読・・・かなぁ？∥^O^∥
一応，｢数学｣なんで数学らしいことを･･･
高校1年生の数学で相加平均相乗平均の関係というのを習う．
2つの正のものを足して2で割ったのが相加平均
2つの正のものをかけてルートを取ったものが相乗平均
このとき

　　　　　　　　相加平均≧相乗平均

が成り立ち、この2つのものが等しいときに等号が成り立つ。

最大値や最小値を求めるのにはとても便利なのだが、必ずしも使えるとは限らない．

相加平均相乗平均の関係を使って最小値や最大値を求めることのできない例
≧1/2のとき、≧

は常に成り立つけれど，等号成立は=
のとき。
≧1/2より=1
ところが明らかに最小値は=1/2のとき

今回の数式はm i m e T e X というのを使わせてもらってみた．
一つ一つの数式を出すのにcgiを使っているのでいいのかどうかはちょっと不安だけど･･･
【追記】やっぱり怒られてしまった･･･

ono: わかれ！

ono: わかれ！

どうもボクらは人に、他者に、愛ある厳しい迫り方をしなくなったのかもしれない。「わかるまで待とう」とばかりに、実は冷たく他者をほったらかしにしているのかもしれません。
わかれ！と迫って、相手に、他者に、ちゃんと考えろ！と迫ってあげることをもっとやる必要があるんだなぁ　と「わかれ！」という命令形が現実に意味を持って存在するのを知って思いました。

この｢わかるまで待つ｣ことができる余裕があればそれに越したことはない．現実には｢わからなくてもいいからやれ！｣というのが数学の授業だったりする．

いまや，｢ちゃんと考えなくてもいいから、ともかくできるよう�