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2004.03.07

割合分数

高校1年生の最初の授業で,よくやるのがこの問題.

高校の数学で何をどう学ぶかという話からはじめて,

「2つのかごがある。一つの籠には赤いりんごが1個あおいりんごが1個入っていて,もう一つの籠には赤いりんごが1個,あおいりんごが2個入っている.

最初の籠の赤いりんごは後の籠の赤いりんごは

全体としては赤いりんごが2個,青いりんごが3個あるのだから赤いりんごはである.

つまり,が成り立つ.

この間違いをCosに納得できるように説明してください.」

文章自体がおかしいのもわざとなのだが,なかなかこれを納得できるように説明できる生徒は少ない.誰もいなかったりすると,

「じゃあ,このクラスではが正しいということでいいですか?」とか
「小学校で習わなかったの?小学校でちゃんと勉強してこなかったのか?(相手は高1の生徒)」

何年も前にはどこが違うのかを説明できる生徒自体がすごく少なかったけれど,計算だけでなく考え方を重視すべきだという方針になってから(ゆとりの教育が始まって基礎学力が落ち始めたころから)違いを指摘できる生徒が増えた.

ただし,Cosを説得できるのはクラスに一人か二人・・・下手をすると一人もいなかったりするのは厄介だが・・・∥^O^∥

そして、こうやって相手を数学的に説得すること・・・証明という・・・について勉強することが高校の数学の一つの目的であることを話して1時間を終える.

今年もやってみようかなぁ?

(mimeTeXがインストールできてうれしくて,思わず早起きして記事を書いてしまった∥^O^∥


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コメント

Farey和のお話ですね。(^_^;

小学生だとそのまま1/2+1/3=3/6+2/6="5/6"という答えになると思うのですが、そもそもその説明文がおかしい(笑)。数字の解釈をするのに中途半端な想像力が論理的思考を邪魔して矛盾を見つけ出せずにいるのかも(^_^;
矛盾を探すのではなく、与えられた情報を処理しようと試みますからね。原点回帰ができない子が多いのかも。

いま、科学者とかでも、自分で研究して理解力や発想力がない人だと数年で使い物にならない人になってしまうそうです。また本人もジレンマに陥って精神障害が出てしまう人もいるのだとか。昔なら若者のほうが柔軟な発想力があって、いろいろな解法を研究したりしたものですが…(^_^;

とはいいつつ、私も素直に読んで「ん?」と一瞬悩んでしまいましたけど(笑) Cosさんも人が悪い(笑)

投稿: バカぽん | 2004.03.08 06:26

∥^O^∥これ,実際には黒板にりんごの絵だけ書いて,後は口頭で説明して,式を書くから,もっといやらしいですσ∥^O^∥

>小学生だとそのまま1/2+1/3=3/6+2/6="5/6"という答えになると思うのですが、

高校生でも同じです(^^;
でも、「りんごは5個しかないじゃん」というと頭を抱えて・・・

この話は後で等確率の話をするときに思い出させます∥^_^∥

年に何回かこういう頭を抱えさせる授業をするのですが,楽しんでいる生徒も少なくありません∥^_^∥

投稿: Cos | 2004.03.08 07:12

高校生でもですか・・・!
盲目的ですね(^_^;
私も統計学の説明をする時にベイズの定理を教えた後で簡単な例題を良く出しますよ。同じスゴロクをするとして、普通のサイコロ1つを振って2倍の数進める人と、普通のサイコロを2個振って進める人と、複数回ゲームを行うとどちらが勝つ確率が高いか。
でも、論理的に答えられる人は少数です。カンで当てる人は多いですけれども…。倍数と平均化されるゆらぎの変化をどう捉えるかなんですけれどもね。

投稿: バカぽん | 2004.03.08 07:55

ベイズ理論・・・・聞いたことがあるぞ・・・覚えてないが∥xx;∥☆\(--メ)

う~ん・・・Cosのところの高校生にとっては「簡単な例題」には見えないだろうなぁ・・・

論理的に説明すること,理論を構築できること,なかなかそこまで行き着く生徒はいないのですが・・・

でも,それをおもしろいと思うかどうかが境目かな?

投稿: Cos | 2004.03.08 20:23

こんにちは。恥ずかしながら、何がおかしいのか30分考え込んでしまいました…。あれっ?!リンゴの数、数えたら合ってるじゃん!って(-_-;)

そして、自分でも情けなかったのですが、反論として「分数の足し算は通分しないといけない」というくらいしか、最初は思いつかなかったのです。暗記で勉強してた証拠ですね。そういえばなんで通分するんだ?と自分を納得させる説明を考えていたら、30分もかかったという次第です_| ̄|○

投稿: Fozy | 2004.03.08 22:58

Fozyさん、Cosの聞き方が悪いので,余計そうなります.
バカぽんさんがおっしゃるように「人が悪い」聞きかたをしていますから・・∥xx;∥☆\(--メ)

同じことを逆からたずねると,説明できない生徒はぐっと減ります.

「10%の食塩水と15%の食塩水を足すと25%の食塩水になる」という話をするとかなりすんなり結論にもっていけます.

投稿: Cos | 2004.03.08 23:47

ベイズ理論はそんなに難しいものではないので、よもや話として聞かせてあげると面白いかも知れませんね。
さっきの例題はサイコロ2個を振った方が、確率的に数値の平均化が起きるので、1個の倍数よりもリスクが少ないのが特徴なんです。永遠にサイコロを振り続けていけば、どちらも結果はそんなに変わりません。でも、スゴロクはゴールがあります。どちらかが先に勝つわけです。例えばサイコロの1が出て2倍の2しか進めない確率よりも、1が2つ出る確率の方が低いわけで、より平均的な進行が望めます。また逆に2つとも6が出る確率は、6が2倍になるよりも少ないのも事実ですが、平均していくと、大きなゆらぎよりも、小さなゆらぎの方が確実性があがるという感じです。数式だともっと複雑になりますけど。
試しに、サイコロを50回振って、出た目の多いほうが勝ちというプログラムを作って500回ほど演算させて、その勝敗率を見てみると、サイコロ2つを振っている方が、1個の2倍の数で進むよりも勝率が高いことが分かります。
もちろん統計学ですから、何度かやれば1個で2倍進む方が勝ったりすることもありますが、確率論でいえば、2個振りの方が強いんですよね。(^_^;
こういった不確実性の計算方法は、よくゲームとかでも使います。「ふつう」だと1つの変数を倍化して使用しますが、「むずかしい」になると2つの変数を合計して確実性をあげてプレイヤーを攻撃したりする感じです。「やさしい」は1つの変数をそのまま使うって感じですね(^_^;
難しいモードで敵の命中率がやたらと高くなるのは、不確実性がそれだけ低いという訳です(笑)

投稿: バカぽん | 2004.03.09 00:16

>例えばサイコロの1が出て2倍の2しか進めない確率よりも、1が2つ出る確率の方が低いわけで、より平均的な進行が望めます。

これおもしろいですね.
朝からずっとこれを何とか使う方法がないかなぁと考えていたりするのですが・・・∥^O^∥

>永遠にサイコロを振り続けていけば、どちらも結果はそんなに変わりません。でも、スゴロクはゴールがあります。どちらかが先に勝つわけです。

この「永遠に」というのはおもしろいですね.
でも本当に結果が変わらなくなるのかなぁ?


投稿: Cos | 2004.03.09 18:22

永遠に振り続けていけば双方が平均化されるので、公約数と同じように双方が変わらなくなってしまうんですよ。サイコロを振るという行為はどちらも同じで、そのサイコロの結果が平均化するというコトは、2倍であるうが、2個であるうが「サイコロを振る」という行為に集約されて平均化されるんです。その基本行為に差が無ければ、結果として永遠に続けると差は無くなるっていうのが、この場合の論理なんですよ。
なのである程度の差が出る途中で、双方の差を取ると、平均化が早い方と、平均化が遅いものとの差が出てきて、そこで確率論の重要性が増すという感じです。
なにしろ2倍にする方と、2個振る方では平均に近づくまでに相当なハンデを2倍の方が背負うことになりますからね(^_^;
なにしろ結果が倍になっちゃうんですもん…。片方はその半分以下の回数で平均化されていくのに(笑)

投稿: バカぽん | 2004.03.09 20:06

なんか・・・確率の導入で話をする「ペテルスブルグの賭け」(でよかったと思うが・・・)と同じような雰囲気になってきた.

こんな話.
コインを投げて賭けをするんだけど,勝つまでずっと続けられるところが普通の賭けとの違い.

たとえば,一回目に「表」にかけて,表が出れば勝ちだから賞金100円をもらっておしまい.

裏が出れば,もう一度コインを投げるが,2回目で勝つと賞金は2倍の200円になっている.

さらに裏が出れば,またコインを投げる.
もちろん賞金はまた2倍(400円).

こうやって何度でも勝つまでコインを投げつづけるとき,(本当は賞金の期待値だがまだ習ってないので)
「この賭けは平均すると,いくらなら元が取れると思うか?」と聞きます.

無限回の期待値は習わないけれど,北1の授業の最後にこの話をもう一度して,
「無限って怖いねぇ」というところにもっていきます.

投稿: Cos | 2004.03.09 21:58

ペテルスブルグの賭けで合ってますよ(^-^)
普通はあちらの通過である1ルーブルで計算するという話で、続けると賞金が倍になるという奴。2^n-1ですよね。
その賭けは必ずいつかは勝てるという期待値がベースですから平均を計算していくと面白いでしょうね。
無限(∞)という数値、また0という数値は、その探求をし始めると哲学になっちゃいます(笑)

投稿: バカぽん | 2004.03.10 16:36

「教材費として10円持ってくること」と前日に言っておいて,これは実際にやってみます.
「10回やって,何回目で勝ったか記録すること」
実際にやってみた後でデータを取って,(期待値を習う前なので)
「このゲームはいくらだったら得すると思えるか?」
と聞くことにしています.

期待値のところでもう一度はなしをすると,
「うそだ!!絶対損する」といわれます∥^O^∥

投稿: Cos | 2004.03.10 18:44

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